Número complexo hiperbólico

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ $\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$ Naturais $\mathbb {N}$ Inteiros $\mathbb {Z}$ Racionais $\mathbb {Q}$ Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$) Reais $\mathbb {R}$ Imaginários $\mathbb {i}$ Complexos $\mathbb {C}$ Números hiper-reais *$\mathbb {R}$ Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$ Octoniões $\mathbb {O}$ Sedeniões $\mathbb {S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões

Na matemática, os números complexos hiperbólicos são uma extensão bidimensional dos números reais definidos de forma análoga aos números complexos. A diferença geométrica principal entre os dois é que enquanto a multiplicação de números complexos respeita a norma euclidiana (quadrada) padrão (x² + y²) em R², a multiplicação de números complexos hiperbólicos respeita a norma (quadrada) de Minkowski (x² − y²).

Algebricamente os números complexos hiperbólicos têm a propriedade interessante, ausente nos números complexos, de ter idempotentes. Além disso, a coleção de todos os números complexos hiperbólicos não dá forma a um corpo, mas, em vez disso, essa estrutura está na mais larga categoria de anéis.

Definição

Um número complexo hiperbólico é um número na forma:

$z=x+hy\,\!$

onde x e y são números reais e a quantidade h satisfaz:

$h^{2}=+1\,\!$

Escolhendo h² = − 1 resulta nos números complexos. É esta mudança do sinal que distingue os números complexos hiperbólicos dos complexos. A quantidade h aqui não é um número real mas uma quantidade independente; isto é, não é igual a ± 1.

A coleção de todo z é chamado de plano complexo hiperbólico. A adição e a multiplicação de números complexos hiperbólicos são definidas por:

$(x+hy)+(u+hv)=\,\!$ $(x+u)+h(y+v)\,\!$

$(x+hy)(u+hv)=\,\!$ $(xu+yv)+h(xv+yu)\,\!$.

Essa multiplicação é comutativa, associativa e distribuitiva em relação à adição.

Conjugado, norma e produto interno

Exatamente como para aos números complexos, pode-se definir a noção de conjugado de um número complexo hiperbólico. Se

$z=x+hy\,\!$

o conjugado de z é definido como

${\overline {z}}=x-hy\,\!$

O conjugado satisfaz a propriedades similares às do conjugado do número complexo usual. A saber,

${\overline {(z+w)}}=\,\!$ ${\overline {z}}+{\overline {w}}\,\!$

${\overline {(zw)}}=\,\!$ ${\overline {z}}{\overline {w}}\,\!$

${\overline {({\overline {z}})}}=\,\!$ $z\,\!$

Essas três propriedades implicam que o conjugado número complexo hiperbólico é um automorfismo de ordem 2. A forma quadrática de um número complexo hiperbólico z = x + hy é dada por:

$|z|\,\!$ $=z{\overline {z}}=\,\!$ ${\overline {z}}z=\,\!$ $x^{2}-y^{2}\,\!$.

Há uma propriedade importante que está preservado pela multiplicação complexa hiperbólica:

$|zw|=|z||w|\,\!$

Entretanto, essa forma quadrática não é positiva-definitiva mas tem ,em vez disso, a assinatura (1.1), então ela não é uma norma.

Aplicação

Os números complexos hiperbólicos são a linguagem natural para tratar da Relatividade Especial em duas dimensões; os divisores de zero representam o cone de luz da relatividade.

Ver também

• Número complexo
• Quaterniões
• Quaterniões hiperbólicos