Paradoxo de Russell
O Paradoxo de Russell é um paradoxo descoberto por Bertrand Russell em 1901 e que mostra que no sistema do livro de Frege Leis fundamentais da aritmética[1] pode ser derivada uma contradição. O paradoxo foi comunicado por uma carta a Frege de 1902.[2] Frege publicou o paradoxo no segundo volume de seu livro em 1903, num posfácio,[1] mas Russell o publicou antes[2] no seu livro Princípios das Matemáticas.[3] Parece ter sido descoberta independentemente, mas não publicada, por Ernst Zermelo, pertencente ao círculo de Hilbert,[4] e permaneceu conhecida apenas por David Hilbert, Edmund Husserl, e outros acadêmicos na Universidade de Göttingen. Posteriormente, foi publicado no clássico Principia Mathematica e em muitos outro lugares. No final da década de 1890, Georg Cantor―considerado o fundador da moderna teoria dos conjuntos―já havia percebido que sua teoria levaria a uma contradição, o que ele contou a Hilbert e Richard Dedekind por carta.[5]
Formulação matemática
editarEste artigo não cita fontes confiáveis. (Março de 2013) |
Considere que o conjunto M é: "o conjunto de todos os conjuntos que não possuam a si próprios como elementos". Se todos os conjuntos estão formando o outro conjunto, então ele não pode ser um conjunto, daí surge o paradoxo: não existe conjunto de todos os conjuntos, nem classe de todas as classes. Quando se diz que a classe está dentro de todas as outras, então se diz que ela é maior que ela mesma (absurdo) formalmente: A é elemento de M se e só se A não é elemento de A.
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No sistema de Cantor, M é um conjunto bem definido. Será que M se contém a si mesmo? Se sim, não é membro de M de acordo com a definição. Por outro lado, supondo que M não contém a si mesmo, tem de ser membro de M, de acordo com a definição de M. Assim, as afirmações "M é membro de M" e "M não é membro de M" conduzem ambas a contradições.
No sistema de Frege, M corresponde ao conceito não recai no conceito da sua definição. O sistema de Frege também conduz a contradições: de que há uma classe definida por este conceito, que recai no conceito da sua definição apenas no caso de não recair.
Aplicações
editarO paradoxo do barbeiro, semelhante na formulação ao de Russell, foi utilizado por Kurt Gödel para provar o seu teorema da incompletude. Alan Turing provou a indecidibilidade do problema da parada usando o mesmo paradoxo.
Ver também
editarReferências
- ↑ a b FREGE, Gottlob (1893–1903). Grundgesetze der Arithmetik (em alemão). Jena: Hermann Pohle. pp. 253−265
- ↑ a b HEIJENOORT, Jean van (1967). From Frege to Gödel: a source book in mathematical logic, 1879−1931 (em inglês). Cambridge, Massachusetts: Harvard University Press. pp. 124−125
- ↑ RUSSELL, Bertrand (1903). The Principles of Mathematics (em inglês). Cambridge: Cambridge University Press. pp. 101−107
- ↑ FRAENKEL, Abraham A.; BAR-HILLEL, Yehoshua (1958). Foundations of Set Theory (em inglês). Amsterdã: North Holland (Elsevier). p. 6
- ↑ Walter Purkert, Hans J. Ilgauds: Vita Mathematica - Georg Cantor, Birkhäuser, 1985, ISBN 3-764-31770-1
