Problema do isomorfismo de subgrafos

Em teoria da complexidade, o problema do isomorfismo de subgrafos é um problema de decisão que se sabe ser NP-completo.

Definição

Isomofismo de Subgrafos $(G_{1},G_{2})$
Entrada: Dois grafos $\,G_{1}$ e $\,G_{2}$.
Pergunta: $\,G_{1}$ é isomórfico (há um isomorfismo de grafos) a um subgrafo de $\,G_{2}$?

Ou, informalmente: tome dois grafos não dirigidos $\,G_{1}$ e $\,G_{2}$ e verifique se $\,G_{1}$ é subgrafo de $\,G_{2}$ (a menos de um isomorfismo) ou não. Em outras palavras, o problema verifica se há ou não uma função $\,f$ que mapeie os vértices de $\,G_{1}$ nos vértices de $\,G_{2}$ de forma tal que haja uma aresta $\,\{u,v\}$ em $\,G_{1}$ exatamente quando $\,\{f(u),f(v)\}$ está em $\,G_{2}$.

Algumas vezes o nome casamento de subgrafos é usado para o mesmo problema. Este nome dá ênfase à busca de um tal subgrafo, em contraste ao mero problema de decisão.

Classe de Complexidade

A demonstração de que o problema do isomorfismo de subgrafos é NP-completo é simples e baseada na redução ao problema do clique (que se sabe ser NP-completo), mostrando que CLIQUE $\leq$ _p isomorfismo de subgrafos. Se o isomorfismo de subgrafos fosse polinomial, poder-se-ia usá-lo para resolver o problema do clique em tempo polinomial. Tome n como o número de arestas em $\,G$: poder-se-ia então rodar o isomorfismo de subgrafos $n-2$ vezes (com $\,G_{1}$ sendo um clique de tamanho 3 até $n$, e $\,G_{2}$ sendo $\,G$) para encontrar o maior clique em $\,G$.

O isomorfismo de subgrafos é uma generalização do problema potencialmente mais fácil do isomorfismo de grafos; se o problema do isomorfismo de grafos fosse NP-completo, a hierarquia polinomial colapsaria, então suspeita-se que ele não o seja.

Áreas de aplicação

Na área de quimioinformática freqüentemente o termo pesquisa de subestruturas é usado. Tipicamente uma estrutura de consulta é definida como SMARTS, uma extensão de SMILES.

É também de grande importância para gramáticas de grafos.

Bibliografia

• J. R. Ullmann: "An Algorithm for Subgraph Isomorphism". Journal of the ACM, 23(1):31–42, 1976.
• Michael R. Garey and David S. Johnson (1979). Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness. [S.l.]: W.H. Freeman. ISBN 0-7167-1045-5  A1.4: GT48, pg.202.