Tabela Price

Tabela Price, também chamado de sistema francês de amortização, é um método usado em amortização de empréstimo cuja principal característica é apresentar prestações (ou parcelas) iguais. O método foi apresentado em 1771 por Richard Price em sua obra "Observações sobre Pagamentos Remissivos" (em inglês: Observations on Reversionary Payments^[1]).

O método foi idealizado pelo seu autor para pensões e aposentadorias. No entanto, foi a partir da 2ª revolução industrial que sua metodologia de cálculo foi aproveitada para cálculos de amortização de empréstimo.

Cálculo

A Tabela Price usa o regime de juros compostos para calcular o valor das parcelas de um empréstimo e, dessa parcela, qual é o valor relativo ao pagamento de juros e qual é relativo à amortização do empréstimo.

Tomemos como exemplo um empréstimo de $ 1 000,00 com taxa de juros de 3% ao mês a ser pago em 4 parcelas mensais. Para calcular o valor da parcela, deve-se usar a fórmula de cálculo de parcelas de mesmo valor:

pmt={\frac {PV\times i}{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}}

sendo, então:

pmt={\frac {1000\times 0,03}{1-{\frac {1}{\left(1+0,03\right)^{4}}}}}\approx 269,03

Um mês depois do empréstimo, o saldo devedor cresce 3% indo para $ 1 030,00, porém, como também deve ocorrer o pagamento de $ 269,03, o saldo devedor passa a ser $ 760,97. Perceba que o pagamento da parcela cobriu os juros de $ 30,00 e também fez a amortização de $ 239,03 (1 000,00 - 760,97) do valor emprestado. O mesmo ocorre nos meses seguintes, porém, como o saldo devedor diminui a cada mês, o valor das parcelas relativo ao pagamento dos juros é decrescente.

Período $n$	Saldo Devedor $PV$ - A	Parcela $pmt$	Juros $J$	Amortização (A) $pmt-J$
0	1 000,00
1	760,97	269,03	30,00	239,03
2	514,77	269,03	22,83	246,20
3	261,19	269,03	15,45	253,58
4	0,00	269,03	7,84	261,19

Em Price, a expressão ${(1+i)^{n}*i} \over {(1+i)^{n}-1}$ é chamada de Fator de Recuperação de Capital.

Amortizações em Price

No sistema Price, os valores das amortizações obedecem a uma progressão geométrica em função do Fator de Rendimento, conforme a expressão $A_{n}=A_{1}\cdot (1+i)^{n-1}$ .

Demonstração:

A partir do exemplo anterior, com taxa de 3% a.m. e valor da 1ª amortização

A_{1}=239,03

, então, o valor da 4ª amortização se dá conforme:

A_{4}=239,03\cdot (1+0,03)^{4-1}=261,19

.

Descapitalização das parcelas no tempo

A fórmula de cálculo para o Valor Presente $(PV)$ , em Price, é equivalente às somas das descapitalizações das parcelas $(pmt)$ no tempo, conforme as expressões a seguir:

PV={\frac {pmt}{\frac {(1+i)^{n}*i}{(1+i)^{n}-1}}}=\sum _{\text{j=1}}^{n}{\frac {pmt}{(1+i)^{j}}}

Demonstração

Tomando por base o exemplo anterior, onde o montante de $ 1.000,00 à taxa de 3% a.m., durante 4 meses, resultando na parcela de $ 269,03 ao mês, a soma das descapitalizações dessas parcelas se dá conforme a seguir:

1000,00\approx {\frac {269,03}{(1+0,03)^{1}}}+{\frac {269,03}{(1+0,03)^{2}}}+{\frac {269,03}{(1+0,03)^{3}}}+{\frac {269,03}{(1+0,03)^{4}}}

Nesse exemplo, o montante inicial se equipara às descapitalizações das parcelas pagas em cada período trazidas para a data presente, demonstrando, portanto, o valor presente líquido (VPL) do financiamento e a equivalência com o cálculo de Richard Price. Uma demonstração rigorosa de tal fórmula pode ser encontrada neste link.^[2]

Juros em Price

A partir da formulação anterior, pode-se achar uma expressão para as parcelas mensais de juros. De fato, o montante de juros a ser pago no mês $k$ recai sobre o Valor Presente do mês anterior, $PV_{k-1}$ , assim, temos

$J_{k}=PV_{k-1}\cdot i$ .^[3]

Sobre a natureza dos juros

Não existem questionamentos sobre se a Tabela Price emprega juros simples ou juros compostos.

Richard Price, criador do método, afirma que suas tabelas são construídas por juros compostos (p.262-287, 1 803-1 812), jamais mencionando a existência de cobrança de juros sobre juros acumulados no empréstimo. Ainda, em julho de 2004, diversos autores de matemática financeira do Brasil assinaram um manifesto afirmando que a Tabela Price é construída com base no regime de capitalização por juros compostos^[4]

Autores afirmam que o Sr. Price tomou as Tabelas de Juro Composto já existentes e incorporou ao seu livro para poupar os seus leitores de procurá-las em outros livros.

Destaca-se também que Calculadora do Cidadão, aplicativo elaborado pelo Banco Central do Brasil, descreve a referida metodologia como concebida pelo regime de juros compostos.^[5]

Ver também

Sistema de Amortização Constante (SAC)
Sistema de Amortização Misto (SAM / SACRE)
Sistema de Amortização Americano
Método de Equivalência a Juros Simples (MEJS)

Referências

↑ Richard Price, Observations on reversionary payments on schemes for providing annuities for widows, and for persons in old age; on the method of calculating the values of assurances on lives; and on the national debt : to which are added four essays ... also an appendix ...,[versão on-line]
↑ Plenus, Educacional. «Fórmula da Dívida no Sistema Price»
↑ Vianna, Renata M.I. «Matemática Financeira» (PDF). Universidade Federal da Bahia
↑ Manifesto em defesa da ciência matemática e financeira Arquivado em 24 de outubro de 2013, no Wayback Machine., no site do Sindicato dos Economistas de São Paulo
↑ Metodologia em calculadora do cidadão, site do Banco Central do Brasil

Bibliografia

BOYER, C. História da matemática. São Paulo, Edgard Blücher, 2002.
CAVALHEIRO, Luiz A.F. Elementos de Matemática Financeira. Rio de Janeiro, Editora FGV, 11a ed., 1989.
NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: da Prova Documental e Precisa Elucidação do seu Anatocismo, Servanda Ed., 2002.
NOGUEIRA, José Jorge Meschiatti. Tabela Price: Mitos e Paradigma Ed.Millennium, 2008.
PEREIRA, Ernesto Luiz de Assis. Amortização de financiamentos por juros simples para o Sistema Financeiro da Habitação. Modelo de Gauss. No prelo
PRICE, Richard. Observations on Reversionary Payments. Londres: Ed. T. Cadell, 4ª ed., 1783; 6ª ed., 1803; e 7ª ed., 1812.
ROVINA, Edson. Tabela Price- verdades que incomodam. Disponível em <http://www.procon.sp.gov.br> capturado em 08/2007.
SILVA, André Luiz Carvalhal. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Ed. Atlas, 2005.
CAMPOS FILHO, Ademar et al. Declaração em defesa de uma Ciência Matemática e Financeira. Disponível no site do Sindicato dos Economistas do Estado de São Paulo, www.sindecon-esp.org.br/force_download.php?file=arq_sys/neodownload/defesa150704.pdf&name=defesa 150704.pdf. Acesso em 9/2006.
LEWIN, F. I. A.; Early, F.S.S, N. Book on Compound Interest, Richard Witt’s Arithmeticall Questions. JIA, 1970, p. 121-132.
FIGUEIREDO, Alcio Manoel de Sousa. Tabela Price & Capitalização de Juros. Editora: Juruá ,2004

Ligações externas

Comparação entre sistemas de Amortização (SAC, SACRE, PRICE, MEJS)

[richard.price-1] Richard Price, Observations on reversionary payments on schemes for providing annuities for widows, and for persons in old age; on the method of calculating the values of assurances on lives; and on the national debt : to which are added four essays ... also an appendix ...,[versão on-line]

[2] Plenus, Educacional. «Fórmula da Dívida no Sistema Price»

[3] Vianna, Renata M.I. «Matemática Financeira» (PDF). Universidade Federal da Bahia

[4] Manifesto em defesa da ciência matemática e financeira Arquivado em 24 de outubro de 2013, no Wayback Machine., no site do Sindicato dos Economistas de São Paulo

[5] Metodologia em calculadora do cidadão, site do Banco Central do Brasil

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