Teorema do gradiente

O teorema do gradiente, também conhecido como teorema fundamental do cálculo, para integrais de linha, diz que a integral de linha através do campo gradiente pode ser estimada calculando-se o campo escalar original nos pontos finais da curva.

Dado $φ : U \subseteq ℝ n \to ℝ$ e $γ$ é qualquer curva de $p$ para $q$ . Então,

\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} .

Isso é uma generalização do teorema fundamental do cálculo para qualquer curva no plano ou no espaço (geralmente n-dimensões).

Implica ao teorema do gradiente que as integrais de linha através dos campos de gradiente são independentes do caminho. Na física, esse teorema é uma das maneiras de definir a força conservativa. Ao colocar $φ$ como um potencial, $\nabla φ$ é um campo conservativo. O trabalho realizado pelas forças conservativas não dependem do caminho seguido pelo objeto, depende somente dos pontos finais, como mostra a equação acima.

O teorema do gradiente também possui uma afirmação interessante: qualquer campo vetorial independente do caminho pode ser expresso como o gradiente de um campo escalar. Assim como o próprio teorema do gradiente, essa consideração tem muitas consequências e aplicações marcantes na matemática pura e na matemática aplicada.

Prova

Se $φ$ é uma função diferenciável de algum subconjunto aberto $U$ (de $ℝ n$ ) para $ℝ$ , e se $r$ é uma função diferenciável em algum intervalo fechado $[a, b]$ para $U$ , então, pela regra da cadeia, a função composta $φ \circ r$ é diferenciável em $(a, b)$ e

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(\varphi \circ \mathbf {r} )(t)=\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)

para todo $t$ em $(a, b)$ . Aqui o $\cdot$ é usual para denotar o produto interno.

Agora, supõem-se que o domínio $U$ de $φ$ contenha a curva diferencial $γ$ com pontos finais $p$ e $q$ , respectivamente (orientados na direção de $p$ para $q$ ). Se $r$ parametriza $γ$ para $t$ em $[a, b]$ , então a equação acima mostra que ^[1]

{\begin{aligned}\int _{\gamma }\nabla \varphi (\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u} &=\int _{a}^{b}\nabla \varphi (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\mathrm {d} t\\&=\int _{a}^{b}{\frac {d}{dt}}\varphi (\mathbf {r} (t))\mathrm {d} t=\varphi (\mathbf {r} (b))-\varphi (\mathbf {r} (a))=\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right),\end{aligned}}

onde a definição de integral de linha é usada na primeira igualdade e o teorema fundamental do cálculo na terceira igualdade.

Exemplos

Exemplo 1

Suponha $γ \subset ℝ 2$ é o arco circular orientado no sentido anti-horário conforme: $(5, 0)$ para $(-4, 3)$ . Usando a definição da integral de linha,

{\begin{aligned}\int _{\gamma }y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)}((5\ \mathrm {sen} \ t)(-5\ \mathrm {sen} \ t)+(5\cos t)(5\cos t))\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)}25\left(-\ \mathrm {sen} \ ^{2}t+\cos ^{2}t\right)\mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)}25\cos(2t)\mathrm {d} t\\&=\left.{\frac {25}{2}}\ \mathrm {sen} \ (2t)\right|_{0}^{\pi -\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)}\\&={\frac {25}{2}}\ \mathrm {sen} \left(2\pi -2\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)\right)\\&=-{\frac {25}{2}}\ \mathrm {sen} \left(2\tan ^{-1}\left({\frac {3}{4}}\right)\right)\\&=-{\frac {25\left({\frac {3}{4}}\right)}{\left({\frac {3}{4}}\right)^{2}+1}}=-12.\end{aligned}}

Observa-se todos os cálculos meticulosos envolvidos no cálculo direto da integral. Em vez de executar esse procedimento, considerando que a função $f (x, y) = xy$ é diferenciável em todo o $ℝ 2$ , pode-se simplificar, usando o teorema do gradiente para dizer que,

\int _{\gamma }y\mathrm {d} x+x\mathrm {d} y=\int _{\gamma }\nabla (xy)\cdot (\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)=xy|_{(5,0)}^{(-4,3)}=-4\cdot 3-5\cdot 0=-12.

Nota-se que para qualquer método adotado o resultado será o mesmo. Porém, utilizando o último procedimento, todo o trabalho já é realizado na prova do teorema do gradiente.

Exemplo 2

Num exemplo mais abstrato, suponha $γ \subset ℝ n$ tendo $p$ , $q$ como pontos finais, com orientação de $p$ para $q$ . Para $u$ no $ℝ n$ , | $u$ | denota a norma Euclidiana de $u$ . Se $α \geq 1$ é um número real, então

{\begin{aligned}\int _{\gamma }|\mathbf {x} |^{\alpha -1}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} &={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }(\alpha +1)|\mathbf {x} |^{(\alpha +1)-2}\mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} \\&={\frac {1}{\alpha +1}}\int _{\gamma }\nabla |\mathbf {x} |^{\alpha +1}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} ={\frac {|\mathbf {q} |^{\alpha +1}-|\mathbf {p} |^{\alpha +1}}{\alpha +1}}\end{aligned}}

Aqui a igualdade final segue o teorema do gradiente, já que a função f(x) = |x|^α+1 é diferenciável em $ℝ n$ se $α \geq 1$ .

Se $α < 1$ então essa equivalência de manterá na maioria dos casos, devendo-se tomar cuidado se γ transpôr ou cercar a origem, porque o campo vetorial da integral (|x|^α-1)*x não está definido ali. No entanto, o caso $α = -1$ é um pouco diferente; pois o integrando se torna (|x|^-2)*x = ∇(log|x|), para que a igualdade final se torne log |q| - log |p|.

Exemplo 3

Supomos que existam $n$ cargas pontuais dispostas num espaço tridimensional e a $n$ $i$ carga pontual tem carga $Q i$ e está localizada na posição $p i$ no $ℝ 3$ . Quer-se calcular o trabalho realizado na partícula de carga $q$ enquanto ela viaja de um ponto $a$ para outro ponto $b$ no $ℝ 3$ . Usando a Lei de Coulomb, pode-se facilmente determinar que a força na partícula na posição $r$ será

\mathbf {F} (\mathbf {r} )=kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}

Aqui | $u$ | denota a norma Euclidiana do vetor $u$ no $ℝ 3$ , e $k = 1/(4 πε 0)$ , onde $ε 0$ é a permissividade do vácuo.

Tomando $γ \subset ℝ 3 - {p 1, ..., p n}$ por uma curva arbitrável diferenciável de $a$ para $b$ , então o trabalho feito na partícula é:

W=\int _{\gamma }\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{\gamma }\left(kq\sum _{i=1}^{n}{\frac {Q_{i}(\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i})}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)

Agora, para cada $i$ , o cálculo direto mostra que

{\frac {\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|^{3}}}=-\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}.

Assim, continuando os passos acima e usando o teorema do gradiente,

W=-kq\sum _{i=1}^{n}\left(Q_{i}\int _{\gamma }\nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {r} \right)=kq\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\left({\frac {1}{\left|\mathbf {a} -\mathbf {p} _{i}\right|}}-{\frac {1}{\left|\mathbf {b} -\mathbf {p} _{i}\right|}}\right)

chega-se a essa conclusão final. Poderíamos ter completado facilmente esse cálculo usando o potencial eletrostático ou a energia potencial eletrostática (com as recorrentes fórmulas $W = -Δ U = - q Δ V$ ). No entanto, ainda não se definiu o potencial de energia, porque a afirmação do teorema do gradiente é necessária para provar que essas funções são bem definidas e diferenciáveis e que essas fórmulas são válidas. Portanto, resolvemos este problema utilizando apenas a Lei de Coulomb, a definição de trabalho e o teorema do gradiente.

Afirmação do Teorema do Gradiente

O teorema do gradiente afirma que se campo vetorial $F$ é o gradiente de alguma função com valor escalar (i.e., e se $F$ for conservativo), então $F$ é um campo vetorial independente do caminho (i.e., a integral de $F$ ao longo de uma curva diferenciada por partes é dependente apenas dos pontos finais).

Este teorema tem uma forte afirmação:

Se $F$ é um campo vetorial independente de caminho, então $F$ é o gradiente de alguma função com valor escalar.^[2]

É simples mostrar que um campo vetorial é independente do caminho se, e somente se, a integral do campo vetorial sobre cada laço fechado em seu domínio for zero. Portanto, a afirmação pode, como uma alternativa, ser declarada da seguinte forma: Se a integral de $F$ sobre cada circuito fechado no domínio da $F$ for zero, então $F$ é o gradiente de alguma função com valor escalar.

Exemplo do princípio da afirmação

Para ilustrar a importância desse princípio, citamos um exemplo que possui em si consequências físicas significativas. No eletromagnetismo clássico, a força elétrica é uma força independente do caminho; i.e. o trabalho realizado por uma partícula que retornou à sua posição original dentro de um campo elétrico, é zero (assumindo que nenhum campo magnético variável está presente).

Portanto, o teorema acima implica que o campo de força elétrica $F e : S \to ℝ 3$ é conservativo (onde $S$ é um subconjunto aberto de caminho, conectado com $ℝ 3$ , que contém uma distribuição de carga). Seguindo as considerações acima, pode-se definir algum ponto de referência $a$ no $S$ e definir a função $U e : S \to ℝ$ por:

U_{e}(\mathbf {r} ):=-\int _{\gamma [\mathbf {a} ,\mathbf {r} ]}\mathbf {F} _{e}(\mathbf {u} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {u}

Usando a sentença acima como prova, sabe-se que $U e$ está bem definida e é diferenciável e $F e = -\nabla U e$ (a partir dessa fórmula pode-se fazer uso do teorema do gradiente para, facilmente, derivar a fórmula, já conhecida, para o cálculo do trabalho realizado por forças conservativas: $W = -Δ U$ ). Muitas vezes a função $U e$ é referenciada como a energia potencial eletrostática do sistema de cargas em $S$ (com referência ao potencial zero $a$ ). Em muitos casos, presume-se que o domínio $S$ é ilimitado e o ponto de referência $a$ é tomado como "infinito", o que pode ser feito com rigor, usando técnicas limitantes. A função $U e$ é indispensável para a análise de muitos sistemas físicos.

Generalizações

Muitos dos teoremas de cálculo vetorial generalizam declarações sobre a integração de formas diferenciais. Na linguagem das formas diferenciais e derivadas externas, o teorema do gradiente afirma que

\int _{\partial \gamma }\phi =\int _{\gamma }\mathrm {d} \phi

para qualquer forma diferencial, $ϕ$ , definido em alguma curva diferenciável $γ \subset ℝ n$ (aqui a integral de $ϕ$ além do limite de $γ$ entende-se como sendo a estimativa de $ϕ$ nos pontos finais de γ).

Observa-se a semelhança entre a afirmação antes feita e a versão generalizada do Teorema de Stokes, no qual diz que a integral de qualquer forma diferenciável $ω$ sobre o limite de várias orientações $Ω$ é igual à integral da sua derivada exterior $d ω$ sobre todo $Ω$ , i.e.,

\int _{\partial \Omega }\omega =\int _{\Omega }\mathrm {d} \omega

Essa declaração é uma generalização do teorema do gradiente de formas 1, definidas em variedades unidimensionais para formas diferenciais determinadas para várias dimensões arbitrárias.

As considerações a respeito da inversa do teorema de gradiente possui uma grande generalização em termos de formas diferenciais variadas. Em particular, supõem-se que $ω$ é uma forma definida em um domínio contraível e a integral de $ω$ sobre qualquer domínio fechado é zero. Então, existe uma fórmula $ψ$ tal que $ω = d ψ$ . Assim, num domínio contratual toda forma fechada é igual a zero. Esse resultado é definido pelo teorema de Poincaré Lemma.

Ver também

Referências

↑ Williamson, Richard and Trotter, Hale. (2004). Multivariable Mathematics, Fourth Edition, p. 374. Pearson Education, Inc.
↑ "Williamson, Richard and Trotter, Hale. (2004). Multivariable Mathematics, Fourth Edition, p. 410. Pearson Education, Inc."

[1] Williamson, Richard and Trotter, Hale. (2004). Multivariable Mathematics, Fourth Edition, p. 374. Pearson Education, Inc.

[wt-2] "Williamson, Richard and Trotter, Hale. (2004). Multivariable Mathematics, Fourth Edition, p. 410. Pearson Education, Inc."

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