Combinação

Uma combinação sem repetição, em análise combinatória, é um subconjunto com $s$ elementos em um conjunto $\mathbb {U} ,$ com $n$ elementos. Como é um conjunto, não há repetição de membros dentro do conjunto.

Por outras palavras combinação sem repetição é o número de grupos que se pode formar com s dos n objectos todos diferentes, diferindo uns dos outros pela natureza dos seus elementos.

O número de subconjuntos de $s$ elementos diferentes de um conjunto de $n$ elementos diferentes pode ser representado por: $C_{s}^{n},$ ${\begin{matrix}{{n} \choose {s}}\end{matrix}},$ ${}^{n}C_{s}$ ou ${C}{\left(n,s\right)}.$

Exemplos

$C_{3,2}$ indica de quantas formas distintas é possível escolher 2 elementos de um grupo de 3 elementos, digamos as 3 primeiras letras do alfabeto: {a,b,c}. As três possíveis combinações são:

ab, ac, bc. Note que em uma combinação não estamos interessados na ordenação dos elementos, uma vez que estamos tratando de um subconjunto do conjunto inicial. desta maneira ab e ba representam um mesmo conjunto.

A combinação $C_{4,2}$ indica de quantas formas distintas é possível escolher dois elementos de um grupo de 4, digamos as quatro primeiras letras do alfabeto: {a,b,c,d}. As seis possíveis combinações são:

ab, ac, ad, bc, bd, cd

Aplicando a formula abaixo ao exemplo acima temos: $C_{2}^{4}={4 \choose 2}={\frac {4!}{2!\cdot \left(4-2\right)!}}$ $=$ ${\frac {\left(4\cdot 3\cdot 2\cdot 1\right)}{\left(2\cdot 1\right)\cdot \left(2\cdot 1\right)}}={\frac {24}{4}}=6$ combinações diferentes

Fórmula

A fórmula de cálculo de uma combinação é a seguinte:

$C_{s}^{n}={n \choose s}={\frac {n!}{s!\cdot \left(n-s\right)!}}$ Onde s deve ser um número natural.

Então: ${n \choose s}={n \choose n-s}$

Significado das variáveis ou incógnitas na fórmula: s (do inglês set: conjunto) é o número de elementos escolhidos (parte); n é o número total de elementos (todo).

Dedução

O processo de dedução exige um conhecimento prévio sobre arranjos e análise combinatória. Em um arranjo, a ordem na qual os elementos são dispostos é levada em conta, enquanto na combinação, a ordem na qual são dispostos não interfere no resultado.

Portanto, para se descobrir quantas combinações existem com $s$ elementos de $n,$ é preciso primeiro descobrir quantos arranjos de $s$ elementos de $n$ existem.

$A_{n}^{s}={\frac {n!}{\left(n-s\right)!}}$

Como nas combinações a ordem dos elementos não importa, e no arranjo, importa, é natural que haja mais arranjos que combinações. Dessa forma, um grande número de arranjos diferentes podem corresponder a uma mesma combinação. Todas as combinações são repetidas o mesmo número de vezes. Para que se possam eliminar essas repetições, é preciso primeiro determinar quantas existem: o número de vezes que cada combinação se repete. Isso se faz descobrindo de quantas formas foram dispostos os $s$ elementos arranjados, ou seja, determinando de quantas formas diferentes os $s$ elementos podem ser arranjados.

$A_{s}^{s}=s!$

Sabendo o número de arranjos possíveis com $s$ elementos de $n,$ e o número de vezes que cada combinação com $s$ elementos de $n$ se repete dentro desse número de arranjos, é possível determinar o número de combinações possíveis, dividindo o número de arranjos pelo número de repetições.

$C_{s}^{n}={\frac {\frac {n!}{\left(n-s\right)!}}{s!}}$

Simplificando essa expressão, é obtida a fórmula da combinação:

$C_{s}^{n}={\frac {n!}{s!\cdot \left(n-s\right)!}}$

Triângulo de Pascal

No Triângulo de Pascal, é possível encontrar-se o valor de $C_{n}^{s}$ sem usar a fórmula direta. Nesse triângulo, $s$ é o número da coluna e $n,$ da linha, onde está o valor da combinação. Essa relação é melhor explicada no artigo sobre binômios de Newton.

O triângulo de Pascal é uma representação de uma grelha de números cujas linhas são iniciadas e terminadas pela unidade. Se adicionarmos dois números consecutivos numa linha de posição n então o número situado na linha de posição n + 1 é a soma desses números.

Regra

Uma combinação $C_{s}^{n}$ só é possível quando $n>0$ e $0\leq {s}\leq {n}.$