Conjunto causal

Um conjunto causal, de maneira mais geral, é um conjunto em cujos elementos existe uma ordem unidirectional de maneira que se pode dizer "... foi causado por ...". Todos os detalhes dependem do caso - por exemplo, a forma suposta da causalidade. Conjuntos causais finitos são usados na física para modelar certos sistemas - por exemplo, nascimento e evolução de espaços, ou de regiões isolados, na cosmologia.

Por exemplo, é considerado que no caso duma causalidade não-determinística (com elementos futuros não representáveis pelos passados ou linearmente independentes), um conjunto causal pode descrever uma região isolada autónoma, onde as classes do elemento inicial e dos 1 - 2 - 4 ... elementos successivamente efetuados têm propriedades que se pode chamar a lógica, geometria, física interna, inclusive formando às dimensões e forças naturais primarias internos do conjunto, inclusive à consideração das ocorrências na colisão de tais conjuntos causais com diferentes dimensões, forças e constantes naturais, ou são considerados casos de causalidades determinísticas onde, conforme os detalhes, dum ponto num conjunto fixo de dimensões resultam novos pontos no mesmo, com certas propriedades.

Definição

Um conjunto causal (ou causet) é um conjunto $C$ com uma relação de ordem parcial de $\preceq$ que é:

• Reflexiva: Para todos $x\in C$, temos $x\preceq x$.
• Antissimétrica: Para todos $x,y\in C$, temos $x\preceq y$ e $y\preceq x$ implica $x=y$.
• Transitiva: Para todos $x,y,z\in C$, temos $x\preceq y$ e $y\preceq z$ implica $x\preceq z$.
• Poset localmente finito: Para todos $x,z\in C$, temos card$(\{y\in C|x\preceq y\preceq z\})<\infty$.

Aqui o card ($A$) denota a cardinalidade de um conjunto ($A$). Será escrito $x\prec y$ se $x\preceq y$ e $x\neq y$.

O conjunto $C$ representa o conjunto de eventos do espaço-tempo e a relação de ordem de $\preceq$ representa a relação causal entre eventos (ver estrutura causal para a ideia análoga em um colector lorentziano). É a condição de finitude local que introduz discretidão no espaço-tempo.