Forma quadrática definida

Em matemática, uma forma quadrática definida é uma forma quadrática sobre algum espaço vetorial real V que possui o mesmo sinal (sempre positivo ou sempre negativo) para cada vetor não nulo de V. De acordo com esse sinal, a forma quadrática é chamada positiva-definida ou negativa-definida.

A forma quadrática semi-definida é definida da mesma forma, exceto que "positivo" e "negativo" são substituídos por "não negativo" e "não positivo", respectivamente. Uma forma quadrática indefinida é aquele que tem tanto valores positivos como negativos.

Em termos mais gerais, a definição aplica-se a um espaço vetorial sobre um corpo ordenado.

Forma bilinear simétrica associada

Formas quadráticas correspondem uma-a-uma a formas bilineares simétricas sobre o mesmo espaço. Uma forma bilinear simétrica é também descrita como definida, semidefinida, etc, segundo sua forma quadrática associada. Uma forma quadrática Q e sua forma bilinear simétrica associada B são relacionadas pelas seguintes equações:

$\,Q(x)=B(x,x)$

$\,B(x,y)=B(y,x)={\tfrac {1}{2}}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))$

Exemplo

Como exemplo, façamos $V=\mathbb {R} ^{2}$, e consideremos a forma quadrática

$Q(x)=c_{1}{x_{1}}^{2}+c_{2}{x_{2}}^{2}\,$

onde x = (x₁, x₂) , c₁ e c₂ são constantes. Se c₁ > 0 e c₂ > 0, a forma quadrática Q é positivo definida. Se uma das constantes é positiva e a outra é zero, então Q é positivo semidefinida. Se c₁ > 0 e c₂ < 0, então Q é indefinida.

Referências

• Kitaoka, Yoshiyuki (1993). Arithmetic of quadratic forms. Col: Cambridge Tracts in Mathematics. 106. [S.l.]: Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021 
• Lang, Serge (2004), Algebra, ISBN 978-0-387-95385-4, Graduate Texts in Mathematics, 211 Corrected fourth printing, revised third ed. , New York: Springer-Verlag, p. 578 
• Milnor, J.; Husemoller, D. (1973). Symmetric Bilinear Forms. Col: Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 73. [S.l.]: Springer-Verlag. ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016