Média metálica

A média metálica, conhecida também como número metálico (ou com menos frequência, média de prata), é a forma mais simples das frações contínuas representadas por:

Médias Metálicas
0:	0 + √42	1
1:	1 + √52	1,618033989
2:	2 + √82	2,414213562
3:	3 + √132	3,302775638
4:	4 + √202	4,236067978
5:	5 + √292	5,192582404
6:	6 + √402	6,162277660
7:	7 + √532	7,140054945
8:	8 + √682	8,123105626
9:	9 + √852	9,109772229
10:	10 + √1042	10,09901951
⋮
n:	n + √4 + n22

Símbolo do número de ouro, um dos principais números metálicos.

$n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]={\frac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4}}\right)\,$

Na qual n é um número natural (em linguagem matemática: $n\in \mathbb {N}$). A proporção áurea (φ = 1,618033989) é a média metálica de 1, bem como a proporção de prata ($\delta _{S}$ = 2,414213562) é a média metálica de 2. Embora não tão comuns, são utilizados também os nomes número de bronze, número de cobre, número de níquel e número de platina para representar as médias metálicas de 3, 4, 5 e 6, respectivamente. O termo "metálico" provém dessa denominação.

Ao lado, podemos ver uma tabela com os valores dos números metálicos de 0 a 10, com uma precisão de 9 algarismos significativos, além de seus valores na forma de radical.

Definição

Cada número metálico pode ser descrito como a solução positiva da Equação do Segundo Grau a seguir:

$x^{2}-nx=1,\,$

onde n é um número inteiro positivo qualquer. Esta raiz será a média metálica do número n, descrita por $[n;n,n,n,...]$.

Assim, por exemplo, pode-se afirmar com segurança que

${\frac {48+{\sqrt {2308}}}{2}}$

é um número metálico pois é solução da equação $x^{2}-48x=1,\,$, o que pode ser facilmente averiguado fazendo uso da Fórmula de Bháskara. Ademais, podemos concluir que se trata do 48º número metálico, ou da média metálica de 48. Este valor é aproximadamente 48,0208243.

Características dos números metálicos notáveis

Razão áurea no pentagrama e razão de prata num octógono.

Assim como o número de ouro tem relação com o pentágono (pela razão ${\frac {\text{Diagonal}}{\text{Lado}}}$), o número de prata tem relação com o octógono (também pela razão ${\frac {\text{Diagonal}}{\text{Lado}}}$). A razão áurea está conectada com os Números de Fibonacci, e o número de prata tem uma estreita relação com os Números de Pell. Por propriedades advindas de suas relações com essas sequências, podemos dizer que cada número de Fibonacci é a soma do número anterior multiplicada por 1 adicionado do número antes desse,e cada número de Pell é a soma do número anterior multiplicada por 2 adicionado do número antes desse. A razão entre dois números de Fibonacci consecutivos converge para a razão áurea, bem como a razão entre dois números de Pell consecutivos converge para a razão de prata.

Propriedades

Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de ouro, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de ouro; Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de prata, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de prata; Se removermos o maior quadrado possível do retângulo de bronze, obteremos um quadrado com o lado sendo o número de bronze.

Razões de ouro, prata e bronze e seus respectivos retângulos.

As propriedades são válidas apenas para números inteiros m, para números não-inteiros as propriedades são similares mas são sutilmente diferentes em alguns quesitos. A propriedade para potências do número de prata são consequências das propriedades das potências dos números metálicos. Para o número metálico S de m, essa propriedade pode ser descrita como uma recorrência linear de segunda ordem, possibilitando ser generalizada como

$\!\ S_{m}^{n}=K_{n}S_{m}+K_{(n-1)}$

onde

$\!\ K_{n}=mK_{(n-1)}+K_{(n-2)}.$

Utilizando as condições iniciais K₀ = 1 e K₁ = m, essa relação de recorrência se transforma em

$\!\ K_{n}={\frac {1}{\sqrt {m^{2}+4}}}{(S_{m}^{n+1}-{(m-S_{m})}^{n+1})}.$

As potências dos números metálicos também possuem outras propriedades interessantes:

Se n é um número inteiro positivo:

$\!\ {S_{m}^{n}-\lfloor S_{m}^{n}\rfloor }=1-S_{m}^{-n}.$

Além disso,

$\!\ {1 \over {S_{m}^{4}-\lfloor S_{m}^{4}\rfloor }}+\lfloor S_{m}^{4}-1\rfloor =S_{(m^{4}+4m^{2}+1)}$

$\!\ {1 \over {S_{m}^{6}-\lfloor S_{m}^{6}\rfloor }}+\lfloor S_{m}^{6}-1\rfloor =S_{(m^{6}+6m^{4}+9m^{2}+1)}.$

Um triângulo de ouro. A razão a:b é equivalente ao número de ouro φ. Num triângulo de prata ele é equivalente a δ_S.

Tem-se também que:

$\!\ S_{m}^{3}=S_{(m^{3}+3m)}$

$\!\ S_{m}^{5}=S_{(m^{5}+5m^{3}+5m)}$

$\!\ S_{m}^{7}=S_{(m^{7}+7m^{5}+14m^{3}+7m)}$

$\!\ S_{m}^{9}=S_{(m^{9}+9m^{7}+27m^{5}+30m^{3}+9m)}$

$\!\ S_{m}^{11}=S_{(m^{11}+11m^{9}+44m^{7}+77m^{5}+55m^{3}+11m)}.$

Generalizando:

$\!\ S_{m}^{2n+1}=S_{\sum _{k=0}^{n}{{2n+1} \over {2k+1}}{{n+k} \choose {2k}}m^{2k+1}}.$

O número metálicoS de m também tem a propriedade seguinte:

$\!\ 1/S_{m}=S_{m}-m$

O que significa que o inverso de um número metálico tem a mesma parte decimal de seu correspondente número metálico. Matematicamente, temos:

$\!\ S_{m}=\lfloor S\rfloor +{S}$

Para facilitar o desenvolvimento do raciocínio, seja $a=\lfloor S\rfloor$ e $b={S}$. Então, a propriedade seguinte pe verdadeira:

$\!\ S_{m}^{2}=a^{2}+mb+1.$

Isso ocorre porque para todo m maior que 0 ($\forall m>0$), a parte inteira de S_m = m, a = m. Para m > 1, temos então:

$\!\ S_{m}^{2}=ma+mb+1$

$\!\ S_{m}^{2}=m(a+b)+1$

$\!\ S_{m}^{2}=m(S_{m})+1.$

Portanto ($\therefore$), concluímos que a média metálica de m é solução da equação

$\!\ x^{2}-mx-1=0.$

Também é importante e útil perceber que o número metálico S de −m é o inverso do número metálico S de m. Matematicamente:

$\!\ 1/S_{m}=S_{(-m)}=S_{m}-m.$

Outro resultado interessante pode ser obtido mudando ligeiramente a fórmula do número metálico. Se considerarmos o número

$\!\ {\frac {1}{2}}\left(n+{\sqrt {n^{2}+4c}}\right)=R$

segue que as seguintes propriedades também são verdadeiras:

$\!\ R-\lfloor R\rfloor =c/R$ de c é real ($c\in \mathbb {R}$),

$\!\ \left({1 \over R}\right)c=R-\lfloor \operatorname {Re} (R)\rfloor$ se c é um número complexo ($c\in \mathbb {C}$) com parte real nula, ou seja na forma c = ki, para todo k inteiro positivo ($\forall k\in \mathbb {Z}$).

O número metálico de m também pode ser obtido a partir da integral

$S_{m}=\int _{0}^{m}{\left({x \over {2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{{m+2} \over {2m}}\right)}\,dx.$

Representações

Além da forma clássica de apresentação, as médias metálicas podem ser representadas de outros modos. De forma alternativa, pode-se dizer utilizando os radicais contínuos que o número metálico S de m é dado por

$S:p,q={\sqrt {q+p{\sqrt {q+p{\sqrt {q+p{\sqrt {q+\cdots }}}}}}}}\,.$

Podemos representar as médias metálicas da seguinte maneira:

Número de Platina: $S:2,2={\sqrt {2+2{\sqrt {2+2{\sqrt {2+2{\sqrt {2+\cdots }}}}}}}}\,.$

Os números metálicos também podem ser representados utilizando fração contínua e sua representação na forma reduzida.

Números metálicos na Geometria

Poliedros

Retângulos de ouro num icosaedro

Os números metálicos têm grande importância em diversas construções geométricas. Na Geometria Espacial, por exemplo, pode-se perceber diversas propriedades relacionadas a esses números. Para ilustrar isso, podemos citar o caso da presença de retângulos de ouro no 5º Poliedro de Platão (Icosaedro - poliedro regular que é composto por 20 faces triangulares idênticas).

Espiral de ouro

A espiral de ouro é uma espiral logarítmica cujo fator de crescimento b está relacionado a φ, a média metálica de 1. Mais especificamente, a espiral de ouro fica mais larga (cada vez mais a partir de sua origem) para um fator de &phi a cada quarto de volta que ela dá. A equação polar para a espiral de ouro é a mesma d outras espirais logarítmicas, mas como o valor especial de b:

$r=ae^{b\theta }\,$

ou

$\theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),$

sendo e a base do logaritmo natural (também chamado de logaritmo neperiano em homenagem a John Napier), a uma constante real positiva arbitrária e b tal que θ seja um ângulo reto (perpendicular, formando 90°), o que descreve um quarto de volta em qualquer direção:

$e^{b\theta _{\mathrm {direita} }}\,=\varphi$

Portanto, b é dado por

$b={\ln {\varphi } \over \theta _{\mathrm {direita} }}$

O valor numérico de b depende se o ângulo reto está descrito em graus (como 90°) ou em radianos (como π/2). Uma vez que o ângulo pode estar em qualquer direção, é absolutamente fácil deduzir a fórmula para o valor absoluto de b (isto é, b também pode ser o negativo deste valor):

Representação da espiral de ouro.

$|b|={\ln {\varphi } \over 90}=0{,}0053468\,$ para θ em graus;

$|b|={\ln {\varphi } \over \pi /2}=0{,}306349\,$ para θ em radianos.

$r=ac^{\theta }\,$

onde a constante c é dada por:

$c=e^{b}\,$

Para o qual a espiral de ouro nos dá esses valores para c':

$c=\varphi ^{\frac {1}{90}}=1{,}0053611$

e

$c=\varphi ^{\frac {2}{\pi }}=1{,}358456$

Áreas de figuras planas

Os números metálicos também tem uma curiosa é íntima relação com as áreas de polígonos convexos regulares.

Pentágono Regular

A Área de um pentágono regular pode ser representada em função da média metálica de 1 (no caso, o número de ouro). Temos:

$A={\frac {l^{2}{\sqrt {20\varphi +15}}}{4}}$

Sendo A a área do pentágono.

Octógono Regular

A Área de um pentágono regular pode ser representada em função da média metálica de 2 (no caso, o número de prata). Temos:

$A=2l^{2}\delta _{S}$

Sendo A a área do octógono.

Números metálicos na Trigonometria

Os números metálicos também estão presentes em diversos valores utilizados nas principais relações trigonométricas (seno, cosseno e tangente). Podemos citar os seguintes valores trigonométricos:

$\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {1}{\sqrt {2(1+\delta _{S})}}}$

$\cos \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {\sqrt {1+\delta _{S}}}{2}}$

$\tan \left({\frac {\pi }{8}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{1+\delta _{S}}}$

$\operatorname {sen} \left({\frac {\pi }{5}}\right)={\frac {\sqrt {\varphi (4-\varphi )-{\frac {4}{\varphi }}}}{2}}$

$\tan \left({\frac {\pi }{5}}\right)={\sqrt {\frac {5}{4\varphi +3}}}$