Quaternião

Conjuntos de números

$\mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$

$\mathbb {I} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} \subset \mathbb {H} \subset \cdots$

Naturais $\mathbb {N}$
Inteiros $\mathbb {Z}$
Racionais $\mathbb {Q}$
Irracionais $\mathbb {I}$ (Este conjunto não faz parte dos conjuntos anteriores mas está contido em $\mathbb {R}$ )
Reais $\mathbb {R}$
Imaginários $\mathbb {i}$
Complexos $\mathbb {C}$
Números hiper-reais * $\mathbb {R}$
Números hipercomplexos

Quaterniões $\mathbb {H}$
Octoniões $\mathbb {O}$
Sedeniões $\mathbb {S}$
Complexos hiperbólicos $\mathbb {R} ^{1,1}$
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões

Os quaterniões ^{(português europeu)} ou quatérnios ^{(português brasileiro)} são uma extensão ${\textstyle \mathbb {H} }$ do conjunto dos números complexos $\mathbb {C}$ . Mais precisamente, o conjunto $\mathbb {H}$ é uma álgebra associativa formada pelos números da forma $u+xi+yj+zk\,\!$ , onde $u,x,y,z\in \mathbb {R}$ e $i\,\!$ , $j\,\!$ e $k\,\!$ são unidades imaginárias ( $i^{2}=j^{2}=k^{2}=-1\,\!$ ). Além disso, temos que $ij=k,jk=i,ki=j,ji=-k,kj=-i,ik=-j\,\!$ , de forma que a multiplicação não é comutativa. A soma e o produto entre quaterniões podem ser calculadas usando-se as demais propriedades da álgebra, tais como a regra distributiva e associativa.^[1]^[2]

$u\!\,$ é chamada de parte escalar do quaternião e $xi+yj+zk\,\!$ é chamada de parte vetorial. Também dizemos que $u\!\,$ é a parte real e $xi+yj+zk\,\!$ é a parte imaginária do quaternião. Aos números $u\!\,$ , $x\,\!$ , $y\,\!$ e $z\,\!$ denominamos coeficientes.

Conceitos

Em uma conta, deve-se realizar sempre a multiplicação, e então a soma; divisão; subtração etc...

Quaternião escalar

Um quaternião escalar é aquele em que a parte vetorial é nula ( $q=\,\!$ $u\,\!$ ).

Quaternião vetorial

Um quaternião vetorial é aquele em que a parte escalar é nula ( $q=xi+yj+zk\,\!$ ).

Conjugado de um quaternião

O conjugado de um quaternião é o mesmo com os sinais da parte vetorial invertidos.

Assim, dado o número quaterniônico $q=u+xi+yj+zk\,\!$ , seu conjugado é então:

${\overline {q}}=u-xi-yj-zk\,\!$ .

Módulo

O módulo de um número quaterniônico é igual a raiz quadrada da soma do quadrado de seus coeficientes. Assim, dado o número $q=u+xi+yj+zk\,\!$ , seu módulo é então:

$\left|q\right|={\sqrt {u^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Operações elementares

Adição e subtração

Na soma ou subtração de quaterniões, soma-se ou subtrai-se os coeficientes das bases correspondentes, conforme o caso. Assim, dados os números:

q=u+xi+yj+zk\,\!

e

p=a+bi+cj+dk\,\!

temos:

$q+p=\,\!$ $(u+a)+(x+b)i+(y+c)j+(z+d)k\,\,$

$q-p=\,\!$ $(u-a)+(x-b)i+(y-c)j+(z-d)k\,\,$

Multiplicação

Produto interno ou escalar

Dados os quaterniões $q=u+xi+yj+zk\,\!$ e $p=a+bi+cj+dk\,\!$ , o produto interno entre eles é dado por:

$qp=pq=au+bx+cy+dz\,\!$

Como se pode notar, o produto interno tem como resultado uma quantidade escalar (um número real).

Produto externo ou vetorial

Sejam $q=u+xi+yj+zk\,\!$ e $p=a+bi+cj+dk\,\!$ números quaterniônicos, então o produto exterior $qp\,\!$ (usualmente, $qp\neq pq\,\!$ ) é definido como:

$qp=\,\!$ $(u+xi+yj+zk)\,\!$ $(a+bi+cj+dk)\,\!$

$=ua+ubi+ucj+udk+xia+xibi+xicj+xidk+yja+yjbi+yjcj+yjdk+zka+zkbi+zkcj+zkdk\,\!$

$=ua+ubi+ucj+udk+xai-xb+xck-xdj+yaj-ybk-yc+ydi+zak+zbj-zci-zd\,\!$

$=(ua-xb-yc-zd)+(ub+xa+yd-zc)i+(uc-xd+ya+zb)j+(ud+xc-yb+za)k\,\!$

E importante notar que esse produto não é comutativo, isto é, existem q e p tais que $qp\neq pq\,\!$ .

Divisão

A não-comutatividade dos quaterniões permite dois tipos de divisão $p^{-1}q\,\!$ e $qp^{-1}\,\!$ . Isso significa que a notação $q \over p\,\!$ não pode ser usada a menos que $p\,\!$ ou $q\,\!$ seja um escalar.

{\frac {a}{b}}={\frac {a{\bar {b}}}{|b|^{2}}}

b ≠ 0.

Representação através de matrizes

Há pelo menos duas formas de se representar quaterniões como matrizes, de tal forma que a adição e a multiplicação de quaterniões correspondem à adição da matriz e à multiplicação de matrizes (isto é, homomorfismo matriz-quaternião).

Uma dessas formas é usar matrizes complexas 2×2 , e a outra é usar matrizes reais 4×4 . Na primeira forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

{\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}

Essa representação tem diversas propriedades agradáveis.

Os números complexos (c = d = 0) correspondem às matrizes diagonais.
O quadrado do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.
O conjugado de um quaternião corresponde à matriz transposta conjugada da matriz.

Restringindo-se aos quaterniões unitários, essa representação fornece o isomorfismo entre S³ e SU (2). O último grupo é importante em mecânica quântica no que se diz respeito à rotação. (Ver também matrizes de Pauli)

. Na segunda forma, o quaternião a + b i + c j + d k é representado como

{\begin{pmatrix}\;\;a&-b&\;\;-c&-d\\\;\;b&\;\;a&-d&c\\\;\;c&\;\;d&\;\;a&-b\\\;\;d&\;\;-c&\;\;b&\;\;a\end{pmatrix}}

Nessa representação, o conjugado de um quaternião corresponde a matriz transposta da matriz. A quarta potência do valor absoluto de um quaternião é a determinante da matriz correspondente.

Construção de Cayley-Dickson

De acordo com a construção de Cayley-Dickson, um quaternião é um par ordenado de números complexos. Seja j uma nova raiz de −1, diferente de i e −i, e seja u e v um par de números complexos, então