Corp finit

În algebra abstractă, un corp finit sau corp Galois (numit în onoarea lui Évariste Galois) este un corp care conține un număr finit de elemente. Corpurile finite sunt importante în teoria numerelor, geometria algebrică, teoria Galois, criptografie și teoria codurilor. Corpurile finite sunt complet cunoscute.

Clasificare

Dat fiind un număr prim p și un număr pozitiv n, există un singur (până la izomorfism) corp finit de ordin pⁿ.

Infrastructură (specie)

Un grup G exact dublu tranzitiv de grad r (care permută cele r simboluri ale unei mulțimi F) de ordin r.(r-1) există dacă și numai dacă r este o putere a unui număr prim pⁿ (n≥1). Un asemenea grup G conține un subgrup normal H, ale cărui permutări, cu excepția identității, mută toate r simbolurile permutate de G ; iar toate celelalte elemente ale lui G sunt permutări care fixează cel puțin un simbol.

Fie 0 și 1 două elemente arbitrare din F . Fie M stabilizatorul lui 0. Pentru orice simbol a din F există exact

• o permutare η_a din H astfel încât η_a(0) = a, iar dacă a ≠ 0, avem exact
• o permutare μ_a din M astfel încât μ_a(1) = a

Atunci adunarea și înmulțirea în F se definesc astfel :

• a + b := η_b (a)
• a × b := μ_b (a) dacă a ≠ 0
• 0 × b = b × 0 = 0

Invers, transformările afine x → ax+b (a ≠ 0) definesc un grup de permutări exact dublu tranzitiv. În concluzie, tehnic vorbind, un corp (F, +, .) este totuna cu un grup exact dublu tranzitiv, modulo alegerile lui 0 și a lui 1.

Definiție combinatorică

Un corp combinatoric este o primitivă a unei specii de structură Cyc.

Exemplu

Sunt 12 rotații care transportă cele 4 vârfuri ale unui poliedru regulat în vârfuri. Între acestea, identitatea și cele trei rotații în jurul axelor muchie-muchie formează grupul aditiv Z₂×Z₂. Odată fixat un vârf, mai rămâne o libertate de mișcare descrisă de Z₃, adică grupul multiplicativ.

După ce s-au fixat două vârfuri, libertatea de mișcare este anulată. Alegerea unui 0 și a unui 1 au fixat tetraedrul, ceea ce este echivalent cu a-i fi atribuit coordonate. Abstract spus, tetraedrul regulat este un fel de linie, determinată de două puncte.

Alternat₄ (sau F₄) = Cyc₃

Alternat₄ = Lin₂

Așadar, tetraedrul regulat este un model pentru corpul finit F₄.

Structură

• Un corp finit este comutativ (Teorema lui Wedderburn).
• Grupul unităților unui corp finit este ciclic.
• Un corp finit este, în cel mai natural mod, un spațiu vectorial peste orice sub-corp al lui.

Interpretarea geometrică

Elementele unui corp pot fi asociate în mod biunivoc punctelor unei linii geometrice.

Alegerea lui 0 și 1 corespunde cu alegerea a două puncte care determină o dreaptă și apoi, în mod unic, coordonatele ei (originea și versorul).

Tipurile de linii din geometrie sunt unic determinate de corpurile de coordonate asociate.

Linia geometrică proiectivă, supusă transformărilor Möbius, presupune existența unui grup triplu tranzitiv, adică a unui corp complet.

Aplicații

Deoarece exponențierea discretă (calcularea lui xⁿ) este rapidă (prin exponențiere binară, care are complexitatea $O(\log n)\,$), dar nu se cunoaște o metodă rapidă de calculare a logaritmului discret, astfel de corpuri sunt deseori folosite în criptografie, ca în protocolul Diffie-Hellman.

Corpurile finite sunt de asemenea folosite în teoria codurilor: multe coduri sunt construite ca subspații ale unor spații vectoriale peste corpuri finite.

Câteva corpuri finite mici

CG₂, corpul Galois cu 2 elemente :

 + | 0 1        · | 0 1
 --+----        --+----
 0 | 0 1        0 | 0 0
 1 | 1 0        1 | 0 1

CG₃ ~ Z₃ :

 + | 0 1 2       · | 0 1 2
 --+------       --+------
 0 | 0 1 2       0 | 0 0 0
 1 | 1 2 0       1 | 0 1 2
 2 | 2 0 1       2 | 0 2 1

CG₄ ~ Z₂[x]/(x²+x+1), corpul claselor de echivalență ale polinoamelor cu coeficienți în Z₂ modulo x²+x+1 :

 + | 0 1 A B       · | 0 1 A B
 --+--------       --+--------
 0 | 0 1 A B       0 | 0 0 0 0
 1 | 1 0 B A       1 | 0 1 A B
 A | A B 0 1       A | 0 A B 1
 B | B A 1 0       B | 0 B 1 A

unde A = x și B = x+1 ; operațiile se efectuează modulo 2 și utilizând relația x²+x+1 = 0.

Transformări afine

Corpul F₃ furnizează grupul simetric cu 6 elemente drept grupul de transformări afine ale sale, AGL₁(F₃):

  ∘ |  e +1 +2 ×2  a  b
 ---+------------------
  e |  e +1 +2 ×2  a  b
 +1 | +1 +2  e  b ×2  a
 +2 | +2  e +1  a  b ×2
 ×2 | ×2  a  b  e +1 +2
  a |  a  b ×2 +2  e +1
  b |  b ×2  a +1 +2  e

unde a = 2×x+1 și b = 2×x+2 ; operațiile sunt considerate modulo 3. Reciproc, pentru ca grup de permutări dublu trazitiv să fie un grup de transformări afine, trebuie adăugată condiția ca stabilizatorul unui simbol să fie comutativ.

Bibliografie

• Robert D. Carmichael, Groups of Finite Order, Ginn and Company, 1937
• Emil Artin, Galois Theory, University of Notre Dame Press, 1942
• Marshal Hall, Jr., The Theory of Groups, The Macmillan Company, New York, 1959
• en Yuen Fong, Howard E. Bell, Wen-Fong Ke, Gordon Mason și Günter Pilz (eds.), Near-Rings and Near-Fields, Kluver Academic Publishers, 1995