Izometrie

În matematică o izometrie (sau congruență, sau transformare congruentă) este o transformare în spații metrice care conservă distanța, transformare presupusă de obicei a fi bijectivă.^[2]

Descriere

Fiind dat un spațiu metric (neformal, o mulțime și o schemă de atribuire a distanțelor între elementele mulțimii), o izometrie este o transformare care aplică elemente pe alte elemente, din același sau din alt spațiu metric, astfel încât distanța dintre elementele imaginii (din același sau noul spațiu metric) este egală cu distanța dintre elementele din spațiul metric inițial. Într-un spațiu euclidian bidimensional sau tridimensional, două figuri geometrice sunt congruente dacă sunt legate printr-o izometrie;^[3] izometria care le leagă este fie o deplasare rigidă (translație sau rotație), fie o compunere a unei deplasări rigide și a unei reflexii.

Izometriile sunt adesea folosite în construcții matematice în care un spațiu este încorporat într-un alt spațiu. De exemplu, completarea unui spațiu metric M implică o izometrie din M în M' . Spațiul inițial M este astfel izomorf izometric cu un subspațiu al unui spațiu metric complet și este de obicei identificat cu acest subspațiu. Alte construcții cu încorporare arată că orice spațiu metric este izomorf izometric cu o submulțime închisă a unui spațiu vectorial normat și că fiecare spațiu metric complet este izomorf izometric cu o submulțime închisă a unui spațiu Banach.

Un operator liniar surjectiv izometric pe un spațiu Hilbert se numește operator unitar.

Definiția izometriei

Fie X și Y spații metrice cu metricele (adică distanțele) d_X și d_Y. O aplicație f : X → Y se numește izometrie sau conservare a distanței dacă pentru orice a,b ∈ X există^[4]

d_{Y}\!\left(f(a),f(b)\right)=d_{X}(a,b).

O izometrie este automat injectivă;^[2] în caz contrar, două puncte distincte, a și b, ar putea fi imaginile aceluiași punct, contrazicând astfel axioma de coincidență a metricii d. Evident, orice izometrie dintre spațiile metrice este o încorporare topologică.

O izometrie globală, izomorfism izometric sau aplicație congruentă este o izometrie bijectivă. Ca orice altă bijecție, o izometrie globală are o funcție inversă. Inversa unei izometrii globale este, de asemenea, o izometrie globală.

Se spune despre două spații metrice X și Y că sunt izometrice dacă există o izometrie bijectivă de la X la Y. Mulțimea izometriilor bijective a spațiului metric pe el însuși formează un grup față de compunerea funcțiilor, numită grupul de izometrie.

Izometrii între spațiile normate

Următoarea teoremă se datorează lui Mazur și Ulam.

Definiție:^[5] Punctul de mijloc a două elemente

x

și

y

dintr-un spațiu vectorial este vectorul

1 / 2 (x + y)

.

Teormă:^[5]^[6]

Fie

A : X \to Y

o izometrie surjectivă între spațiile normate care aplică 0 pe 0 (Stefan Banach numește aceste aplicații rotații) unde

A

nu se presupune că ar fi o izometrie liniară.

Atunci

A

aplică punctele de mijloc pe punctele de mijloc și este o transformare liniară peste numerele reale

ℝ

.

Dacă

X

și

Y

sunt spații vectoriale complexe, atunci

A

poate să nu fie liniară peste

ℂ

.

Izometrie liniară

Având în vedere două spații vectoriale normate $V$ și $W$ , o izometrie liniară este o transformare liniară $A:V\to W$ care păstrează normele:

\|Av\|=\|v\|

pentru orice $v\in V$ .^[7] Izometriile liniare sunt transformări care conservă distanța în sensul de mai sus. Ele sunt izometrii globale dacă și numai dacă sunt surjective.

Într-un spațiu prehilbertian definiția de mai sus se reduce la

\langle v,v\rangle =\langle Av,Av\rangle

pentru toate $v\in V$ , ceea ce este echivalent cu a spune că $A^{\dagger }A=\operatorname {I} _{V}$ . Acest lucru implică și faptul că izometriile păstrează produsele scalare, ca

\langle Au,Av\rangle =\langle u,A^{\dagger }Av\rangle =\langle u,v\rangle .

Izometriile liniare nu sunt întotdeauna operatori unitari, totuși, deoarece acestea necesită în plus ca $V=W$ și $AA^{\dagger }=\operatorname {I} _{V}$ .

După teorema Mazur–Ulam^⁠(d) orice izometrie a spațiilor vectoriale normate peste R este transformare afină^⁠(d).

Exemplu

O transformare liniară A din Cⁿ pe ea însăși este o izometrie (pentru proodusul scalar) dacă și numai dacă matricea sa este o matrice unitate.^[8]^[9]^[10]^[11]

Note

^ en Coxeter 1969, p. 46.
3.51 Any direct isometry is either a translation or a rotation. Any opposite isometry is either a reflection or a glide reflection.
^ ^a ^b en Coxeter 1969, p. 29.
"We shall find it convenient to use the word transformation in the special sense of a one-to-one correspondence $P\to P'$ among all points in the plane (or in space), that is, a rule for associating pairs of points, with the understanding that each pair has a first member $P$ and a second member $P'$ and that every point occurs as the first member of just one pair and also as the second member of just one pair...
In particular, an isometry (or "congruent transformation," or "congruence") is a transformation which preserves length..."
^ en Coxeter 1969, p. 39.
3.11 Any two congruent triangles are related by a unique isometry.
^ en Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953). „On isometries of Euclidean spaces” (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415  . JSTOR 2032415. MR 0058193.
Let $T$ be a transformation (possibly many-valued) of $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) into itself.
Let $d(p,q)$ be the distance between points $p$ and $q$ of $E^{n}$ , and let $Tp$ , $Tq$ be any images of $p$ and $q$ , respectively.
If there is a length $a$ > 0 such that $d(Tp,Tq)=a$ whenever $d(p,q)=a$ , then $T$ is a Euclidean transformation of $E^{n}$ onto itself.
^ ^a ^b Narici & Beckenstein 2011, pp. 275-339.
^ Wilansky 2013, pp. 21-26.
^ da Thomsen, Jesper Funch (2017). Lineær algebra [Algebră liniară]. Århus: Department of Mathematics, Aarhus University. p. 125.
^ en Roweis, S. T.; Saul, L. K. (2000). „Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding”. Science. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313  . doi:10.1126/science.290.5500.2323. PMID 11125150.
^ en Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (2003). „Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds”. Journal of Machine Learning Research. 4 (June): 119–155. Quadratic optimisation of $\mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)$ (page 135) such that $\mathbf {M} \equiv YY^{\top }$
^ en Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). „Principal Manifolds and Nonlinear Dimension Reduction via Local Tangent Space Alignment”. SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957  . doi:10.1137/s1064827502419154.
^ en Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). „MLLE: Modified Locally Linear Embedding Using Multiple Weights”. Advances in Neural Information Processing Systems. 19. It can retrieve the ideal embedding if MLLE is applied on data points sampled from an isometric manifold.

Bibliografie

en Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
en Coxeter, H. S. M. (1969). Introduction to Geometry, Second edition. Wiley. ISBN 9780471504580.
en Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (ed. Second). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
en Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM (ed. Second). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
en Lee, Jeffrey M. (2009). Manifolds and Differential Geometry. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4815-9.
en Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (ed. Second). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
en Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

Portal Matematică

[1] Coxeter 1969, p. 46.
3.51 Any direct isometry is either a translation or a rotation. Any opposite isometry is either a reflection or a glide reflection.

[CoxeterIsometryDef-2] Coxeter 1969, p. 29.
"We shall find it convenient to use the word transformation in the special sense of a one-to-one correspondence $P\to P'$ among all points in the plane (or in space), that is, a rule for associating pairs of points, with the understanding that each pair has a first member $P$ and a second member $P'$ and that every point occurs as the first member of just one pair and also as the second member of just one pair...
In particular, an isometry (or "congruent transformation," or "congruence") is a transformation which preserves length..."

[3] Coxeter 1969, p. 39.
3.11 Any two congruent triangles are related by a unique isometry.

[4] Beckman, F. S.; Quarles, D. A., Jr. (1953). „On isometries of Euclidean spaces” (PDF). Proceedings of the American Mathematical Society. 4 (5): 810–815. doi:10.2307/2032415  . JSTOR 2032415. MR 0058193.
Let $T$ be a transformation (possibly many-valued) of $E^{n}$ ( $2\leq n<\infty$ ) into itself.
Let $d(p,q)$ be the distance between points $p$ and $q$ of $E^{n}$ , and let $Tp$ , $Tq$ be any images of $p$ and $q$ , respectively.
If there is a length $a$ > 0 such that $d(Tp,Tq)=a$ whenever $d(p,q)=a$ , then $T$ is a Euclidean transformation of $E^{n}$ onto itself.

[FOOTNOTENariciBeckenstein2011275-339-5] Narici & Beckenstein 2011, pp. 275-339.

[FOOTNOTEWilansky201321-26-6] Wilansky 2013, pp. 21-26.

[Thomsen_2017_p125-7] Thomsen, Jesper Funch (2017). Lineær algebra [Algebră liniară]. Århus: Department of Mathematics, Aarhus University. p. 125.

[8] Roweis, S. T.; Saul, L. K. (2000). „Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Embedding”. Science. 290 (5500): 2323–2326. CiteSeerX 10.1.1.111.3313  . doi:10.1126/science.290.5500.2323. PMID 11125150.

[9] Saul, Lawrence K.; Roweis, Sam T. (2003). „Think globally, fit locally: Unsupervised learning of nonlinear manifolds”. Journal of Machine Learning Research. 4 (June): 119–155. Quadratic optimisation of $\mathbf {M} =(I-W)^{\top }(I-W)$ (page 135) such that $\mathbf {M} \equiv YY^{\top }$

[10] Zhang, Zhenyue; Zha, Hongyuan (2004). „Principal Manifolds and Nonlinear Dimension Reduction via Local Tangent Space Alignment”. SIAM Journal on Scientific Computing. 26 (1): 313–338. CiteSeerX 10.1.1.211.9957  . doi:10.1137/s1064827502419154.

[11] Zhang, Zhenyue; Wang, Jing (2006). „MLLE: Modified Locally Linear Embedding Using Multiple Weights”. Advances in Neural Information Processing Systems. 19. It can retrieve the ideal embedding if MLLE is applied on data points sampled from an isometric manifold.

[2]

[1]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]