Heptagramă

În geometrie o heptagramă este un poligon stelat cu șapte vârfuri, cu simbolul Schläfli {7/2}, respectiv {7/3}.

Heptagramă regulată
Tip	poligon stelat
Laturi și vârfuri	7
Simbol Schläfli	{7/2}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Diedrală (D7)
Arie	≈1,396 a2   (a = latura)
Unghi interior (grade)	77,143
Proprietăți	poligon echilateral, izogonal, izotoxal

[Marea] heptagramă regulată
Tip	poligon stelat
Laturi și vârfuri	7
Simbol Schläfli	{7/3}
Diagramă Coxeter
Grup de simetrie	Diedrală (D7)
Arie	≈0,399 a2   (a = latura)
Unghi interior (grade)	25,714
Proprietăți	poligon echilateral, izogonal, izotoxal

Varianta întrețesută, echivalentă cu nodul 7₁

Denumirea heptagramă combină prefixul numeric hepta- cu sufixul -gramă, care derivă din greacă γραμμῆ, care înseamnă o dreaptă.

Geometrie

În general, o heptagramă este orice heptagon (poligon cu 7 laturi) autointersectat.

Există două heptagrame regulate, etichetate ca {7/2}, respectiv {7/3}, al doilea număr reprezentând pasul stelării unui heptagon regulat, {7}.

Acesta este cel mai mic poligon stelat care are două forme diferite, ca fracții ireductibile. Cele două heptagrame sunt uneori numite heptagramă (pentru {7/2}), respectiv marea heptagramă (pentru {7/3}).

{7/2}	{7/3}	{7}+{7/2}+{7/3}
Prismă 7/2	Prismă 7/3	Graful complet
Antiprismă 7/2	Antiprismă 7-3	Antiprismă 7-4

Mărimi asociate

Heptagrama {7/2}

Coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt:

$(1,0)$,

$(\cos(2\pi /7),\pm \sin(2\pi /7))$,

$(\cos(4\pi /7),\pm \sin(4\pi /7))$,

$(\cos(6\pi /7),\pm \sin(6\pi /7))$.

Unghiurile interne sunt

${\frac {3\pi }{7}}\approx 77,142857^{\circ }.$

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii a este

$R=\left(2\sin {\frac {2\pi }{7}}\right)^{-1}a\approx 0,639524~a.$

Raza înscrisă pentru lungimea laturii a este

$r=\left(2\tan {\frac {2\pi }{7}}\right)^{-1}a\approx 0,398737~a.$

Aria pentru lungimea laturii a este

$A=7\left(4\tan {\frac {2\pi }{7}}\right)^{-1}a\approx 1,395578~a^{2}.$

Heptagrama {7/3}

Coordonatele carteziene ale vârfurilor sunt:

$(1,0)$,

$(\cos(2\pi /7),\pm \sin(2\pi /7))$,

$(\cos(4\pi /7),\pm \sin(4\pi /7))$,

$(\cos(6\pi /7),\pm \sin(6\pi /7))$.

Unghiurile interne sunt

${\frac {\pi }{7}}\approx 25,714286^{\circ }.$

Raza circumscrisă pentru lungimea laturii a este

$R=\left(2\sin {\frac {3\pi }{7}}\right)^{-1}a\approx 0,512858~a.$

Raza înscrisă pentru lungimea laturii a este

$r=\left(2\tan {\frac {3\pi }{7}}\right)^{-1}a\approx 0,114122~a.$

Aria pentru lungimea laturii a este

$A=7\left(4\tan {\frac {3\pi }{7}}\right)^{-1}a\approx 0,399426~a^{2}.$

Utilizări

Drapele și heraldică

• 
  Drapelul Iordaniei, cu steaua simbolizând Al-Fatiha
• 
  Simbolul Hokkaido
• 
  Stema Samarkandului
• 
  Steaua Commonwealth-ului din vârful stemei Australiei
• 
  Drapelul municipalității Thun

Simboluri religioase sau oculte

Sigiliul Babalon cu A∴A∴

• Heptagrama a devenit un simbol tradițional pentru a îndepărta răul în catolicism.
• Simbolul este folosit și în iudaismul cabalist.
• În islam, heptagrama este folosită pentru a reprezenta primele șapte versete din Coran.
• Heptagrama este folosită în simbolul pentru Babalon în sistemul ocult al lui Aleister Crowley, Thelema.
• În alchimie, o stea cu șapte laturi se poate referi la cele șapte planete care erau cunoscute de primii alchimiști, sau la cele șapte substanțe folosite în alchimie: foc, apă, aer, pământ, sulf, sare și mercur.

Bibliografie

• en Grünbaum, B. and G.C. Shephard; Tilings and Patterns, New York: W. H. Freeman & Co., (1987), ISBN: 0-7167-1193-1.
• en Grünbaum, B.; Polyhedra with Hollow Faces, Proc of NATO-ASI Conference on Polytopes ... etc. (Toronto 1993), ed T. Bisztriczky et al., Kluwer Academic (1994) pp. 43–70.
• en John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, The Symmetries of Things 2008, ISBN: 978-1-56881-220-5 (Chapter 26. pp. 404: Regular star-polytopes Dimension 2)

Legături externe

• Materiale media legate de heptagramă la Wikimedia Commons

• en Eric W. Weisstein, Heptagram la MathWorld.
• en Approximate construction method