Poliedru sferic

În matematică un poliedru sferic sau pavare sferică este o teselare a sferei în care suprafața ei este împărțită de arce de cercuri mari în regiuni mărginite numite poligoane sferice. O mare parte din teoria poliedrelor simetrice este prezentată mai convenabil în acest mod.

Această minge de plajă ar fi un hosoedru cu 6 fețe în formă de fusuri sferice dacă cele 2 petice albe de la poli ar fi îndepărtate

Cel mai cunoscut poliedru sferic este mingea de fotbal, gândită ca un icosaedru trunchiat sferic Următorul poliedru sferic cel mai popular este mingea de plajă, considerată drept hosoedru.

Unele cazuri „improprii” de poliedre, cum ar fi hosoedrele și dualele lor, diedrele, există ca poliedre sferice, dar analoagele lor cu fețe plane sunt degenerate. Exemplul de minge de plajă hexagonală, {2, 6}, este un hosoedru, iar {6, 2} este diedrul său dual.

Istoric

Primele poliedre artificiale cunoscute sunt poliedrele sferice cioplire în piatră. Multe au fost găsite în Scoția și par să dateze din neolitic.

În secolul al X-lea savantul islamic Abū al-Wafā' Būzjānī (Abu'l Wafa) a scris primul studiu serios despre poliedrele sferice.

Acum două sute de ani, la începutul secolului al XIX-lea, Poinsot a folosit poliedre sferice pentru a descoperi cele patru poliedre stelate regulate.

La mijlocul secolului al XX-lea, Coxeter le-a folosit pentru a enumera toate poliedrele uniforme, cu excepția unuia, prin realizarea de caleidoscoape (construcția Wythoff).

Exemple

Toate poliedrele regulate, semiregulate și dualele lor pot fi proiectate pe sferă sub formă de pavări:

Simbol Schläfli	{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	t{q,p}	{q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Configurația vârfului	p^q	q.2p.2p	p.q.p.q	p.2q.2q	q^p	q.4.p.4	4.2q.2p	3.3.q.3.p
Simetrie tetraedrică (3 3 2)	3³	3.6.6	3.3.3.3	3.6.6	3³	3.4.3.4	4.6.6	3.3.3.3.3
Simetrie tetraedrică (3 3 2)	3³	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	3³	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3
Simetrie octaedrică (4 3 2)	4³	3.8.8	3.4.3.4	4.6.6	3⁴	3.4.4.4	4.6.8	3.3.3.3.4
Simetrie octaedrică (4 3 2)	4³	V3.8.8	V3.4.3.4	V4.6.6	3⁴	V3.4.4.4	V4.6.8	V3.3.3.3.4
Simetrie icosaedrică (5 3 2)	5³	3.10.10	3.5.3.5	5.6.6	3⁵	3.4.5.4	4.6.10	3.3.3.3.5
Simetrie icosaedrică (5 3 2)	5³	V3.10.10	V3.5.3.5	V5.6.6	3⁵	V3.4.5.4	V4.6.10	V3.3.3.3.5
Exemplu diedral p=6 (2 2 6)	6²	2.12.12	2.6.2.6	6.4.4	2⁶	2.4.6.4	4.4.12	3.3.3.6

Pavarea sferei cu triunghiuri sferice (icosaedru cu unele dintre triunghiurile sale sferice distorsionate)

n	2	3	4	5	6	7	8	10	...
n-prismă (2 2 p)									...
n-bipiramidă (2 2 p)									...
n-antiprismă									...
n-trapezoedru									...

Cazuri improprii

Pavările sferice permit cazuri care nu par poliedre, și anume, hosoedre (figuri ca {2,n}) și diedre (figuri ca {n,2}). În general, se folosesc hosoedre și diedre regulate.

Familia hosoedrelor regulate cu simetrie *n22 , repectiv pavări hosoedrice regulate nn
Spațiu	Sferic							Euclidian
Denumirea pavării	(Monogonală) hosoedru henagonal	hosoedru digonal	(Triunghiulară) hosoedru trigonal	(Pătrată) hosoedru tetragonal	hosoedru pentagonal	hosoedru hexagonal	...	hosoedru apeirogonal
Imagine							...
Simbol Schläfli	{2,1}	{2,2}	{2,3}	{2,4}	{2,5}	{2,6}	...	{2,∞}
Diagramă Coxeter							...
Fețe și laturi	1	2	3	4	5	6	...	∞
Vârfuri	2						...	2
Config. vârf	2	2.2	2³	2⁴	2⁵	2⁶	...	2^∞

Familia diedrelor regulate: *n22 permutări simetrice ale pavărilor diedrice regulate nn
Spațiu	Sferic							Euclidian
Denumirea pavării	(Hengonală) Diedru monogonal	(Digonală) Diedru digonal	(Triunghiulară) Diedru triunghiular	(Pătratică) Diedru pătrat	Diedru pentagonal	Diedru hexagonal	...	Diedru apeirogonal
Imaginea pavării							...
Simbol Schläfli	{1,2}	{2,2}	{3,2}	{4,2}	{5,2}	{6,2}	...	{∞,2}
Diagramă Coxeter							...
Fețe	2 {1}	2 {2}	2 {3}	2 {4}	2 {5}	2 {6}	...	2 {∞}
Laturi și vârfuri	1	2	3	4	5	6	...	∞
Config. vârf	1.1	2.2	3.3	4.4	5.5	6.6	...	∞.∞

Relația cu pavările planului proiectiv

Poliedre sferice care au cel puțin o simetrie inversă sunt legate de poliedrele proiective^⁠(d)^[1] (teselări ale planului proiectiv real^⁠(d)) — așa cum sfera are o acoperire de 2 la 1 a planului proiectiv, poliedrele proiective corespund cu o acoperire dublă poliedrelor sferice care sunt simetrice față de centru.

Cele mai cunoscute exemple de poliedre proiective sunt poliedre proiective regulate, corespondentele poliedrelor platonice cu simetrie centrală, precum și două clase infinite de diedre și hosoedre:^[2]

Hemicub, {4,3}/2
Hemioctaedru, {3,4}/2
Hemidodecaedru, {5,3}/2
Hemiicosaedru, {3,5}/2
Hemidiedru, {2p,2}/2, p>=1
Hemihosoedru, {2,2p}/2, p>=1

Note

^ en McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). „6C. Projective Regular Polytopes”. Abstract Regular Polytopes. Cambridge University Press. pp. 162–5. ISBN 0-521-81496-0.
^ en Coxeter, H.S.M. (1969). „§21.3 Regular maps'”. Introduction to Geometry (ed. 2nd). Wiley. pp. 386–8. ISBN 978-0-471-50458-0. MR 0123930.

Bibliografie

en Poinsot, L. (1810). „Memoire sur les polygones et polyèdres”. J. De l'École Polytechnique. 9: 16–48.
en Coxeter, H.S.M.; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). „Uniform polyhedra”. Phil. Trans. 246 A (916): 401–50. JSTOR 91532.
en Coxeter, H.S.M. (1973). Regular Polytopes (ed. 3rd). Dover. ISBN 0-486-61480-8.

Legături externe

Portal Matematică

Materiale media legate de poliedru sferic la Wikimedia Commons

[1] McMullen, Peter; Schulte, Egon (2002). „6C. Projective Regular Polytopes”. Abstract Regular Polytopes. Cambridge University Press. pp. 162–5. ISBN 0-521-81496-0.

[cox-2] Coxeter, H.S.M. (1969). „§21.3 Regular maps'”. Introduction to Geometry (ed. 2nd). Wiley. pp. 386–8. ISBN 978-0-471-50458-0. MR 0123930.

[1]

[2]