Punct izolat

În matematică, un punct $x$ este denumit punct izolat al unei submulțimi $S$ (într-un spațiu topologic $X$ ) dacă $x$ este un element al lui $S$ și există o vecinătate al lui $x$ care nu conține alte puncte din $S$ . Acest lucru este echivalent cu a spune că singletonul x este o mulțime deschisă în spațiul topologic $S$ (considerat ca un subspațiu al $X$ ). O altă formulare echivalentă este: un element $x$ din $S$ este un punct izolat al $S$ dacă și numai dacă nu este un punct de acumulare al lui $S$ .^[1]

Dacă spațiul $X$ este un spațiu euclidian (sau oricare alt spațiu metric), atunci un element $x$ din $S$ este un punct izolat al $S$ dacă există o bilă în jurul lui $x$ care conține doar un număr finit de elemente din $S$ .

Noțiuni înrudite

O mulțime care este alcătuită numai din puncte izolate se numește mulțime discretă (vezi și spațiu discret^⁠(d)). Orice submulțime discretă $S$ a spațiului euclidian trebuie să fie numărabilă, deoarece izolarea fiecăruia dintre punctele sale împreună cu faptul că numerele raționale sunt dense între numerele reale înseamnă că punctele lui $S$ pot fi puse în corespondență cu o mulțime de puncte cu coordonate raționale. Totuși, nu orice mulțime numărabilă este discretă, dintre care numerele raționale din metrica euclidiană obișnuită sunt exemplul canonic.

O mulțime închisă fără puncte izolate se numește mulțime perfectă^[1] (conține toate punctele sale de acumulare și niciun punct izolat).

Numărul de puncte izolate este un invariant topologic, adică dacă două spații topologice $X$ și $Y$ sunt homeomorfe^⁠(d), au același număr de puncte izolate.

Exemple

Exemple standard

Spațiile topologice din următoarele trei exemple sunt considerate subspații ale dreptei reale cu topologia standard.

Pentru mulțimea $S=\{0\}\cup [1,2]$ , punctul 0 este un punct izolat (exemplul din imagine).
Pentru mulțimea $S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\dots \}$ , fiecare dintre punctele 1/ $k$ este un punct izolat, dar 0 nu este un punct izolat deoarece există alte puncte în $S$ oricât de aproape de 0 se dorește.
Mulțimea ${\mathbb {N} }=\{0,1,2,\ldots \}$ de numere naturale este o mulțime discretă.

În spațiul topologic $X=\{a,b\}$ cu topologia $\tau =\{\emptyset ,\{a\},X\}$ , elementul $a$ este un punct izolat, chiar dacă $b$ aparține închiderii lui $\{a\}$ (prin urmare este, într-un anumit sens, „apropiat” de $a$ ). O astfel de situație nu este posibilă într-un spațiu Hausdorff.

Lema Morse afirmă că punctele critice nedegenerate ale anumitor funcții sunt izolate.

Două exemple neintuitive

Fie mulțimea $F$ de puncte $x$ din intervalul real $(0,1)$ astfel încât fiecare cifră $x_{i}$ din reprezentarea lor binară îndeplinește următoarele condiții:

Este fie $x_{i}=0$ , fie $x_{i}=1$ .
$x_{i}=1$ există doar pentru un număr finit de indici $i$ .
Dacă se notează cu $m$ cel mai mare indice astfel încât $x_{m}=1$ , atunci $x_{m-1}=0$ .
Dacă $x_{i}=1$ și $i<m$ , atunci este valabilă exact una dintre următoarele două condiții: $x_{i-1}=1$ sau $x_{i+1}=1$ .

Informal, aceste condiții înseamnă că fiecare cifră a reprezentării binare a lui $x$ care este egală cu 1 aparține unei perechi ...0110..., cu excepția ...010... de la sfârșit.

Acum, $F$ este o mulțime explicită constând în întregime din puncte izolate care are proprietatea neintuitivă că închiderea este o mulțime nenumărabilă.^[2]

Altă mulțime $F$ cu aceleași proprietăți poate fi obținută după cum urmează. Fie $C$ treimea de mijloc a mulțimii Cantor, fie $I_{1},I_{2},I_{3},\ldots$ intervalele componente ale $[0,1]-C$ și fie $F$ o mulțime formată dintr-un punct din fiecare $I_{k}$ . Deoarece fiecare $I_{k}$ conține doar câte un punct din $F$ , fiecare punct din $F$ este un punct izolat. Totuși, dacă $p$ este orice punct din mulțimea Cantor, atunci fiecare vecinătate a lui $p$ conține cel puțin un $I_{k}$ și, prin urmare, cel puțin un punct de $F$ . Rezultă că fiecare punct al mulțimii Cantor se află în închiderea lui $F$ , prin urmare $F$ are o închidere nenumărabilă.