Teoria categoriilor

Teoria categoriilor^[1] formalizează structura matematica și conceptele în ceea ce privește o colecție de obiecte și de săgeți (de asemenea, numite morfisme). O categorie are două proprietăți de bază: capacitatea de a compune săgețile prin asociere și existența unei identități săgeată pentru fiecare obiect. Limbajul din teoria categoriilor a fost folosit pentru a formaliza concepte ale altor abstracțiuni de nivel înalt cum ar fi seturi, inele, și grupuri.

Mai mulți termeni utilizați în teoria categoriilor, inclusiv termenul de „morfism”, sunt utilizați în mod diferit de la utilizările lor în restul matematicii. În teoria categoriilor, morfismele se supun la condiții specifice teoriei categoriilor.

Samuel Eilenberg și Saunders Mac Lane au introdus conceptele de categorii, functori, și transformări naturale în 1942-45 în studiul lor de topologie algebrică, cu scopul de a înțelege procesele care păstrează o structură matematică.

Teoria categorie are aplicații practice în teoria limbajelor de programare, în special pentru studiul de monade în programarea funcțională.

Functori

Functorii sunt structuri de conservare a legăturilor între categorii. Acestea pot fi considerate ca morfisme in categoria tuturor (micilor) categorii.

Transformări naturale

O transformare naturală este o relație între doi functori. Functorii descriu adesea "construcții naturale" și transformările naturale apoi descriu „omomorfisme naturale” între două astfel de construcții. Uneori două construcții destul de diferite prezintă „același” rezultat; acest lucru este exprimat de un izomorfism natural între doi functori.

Note istorice

În 1942-45, Samuel Eilenberg și Saunders Mac Lane au introdus categoriile, functorii și transformările naturale ca parte din munca lor în topologie, mai ales topologia algebrică. Munca lor a fost o parte importantă a tranziției de la omologia intuitiva și geometrică către teoria axiomatică omologică. Eilenberg și Mac Lane au scris mai târziu că scopul lor a fost de a înțelege transformările naturale. Aceasta a necesitat definirea de functori, care au necesitat categorii.

Teoria categoriilor a fost aplicată si în alte domenii. De exemplu, John Baez a arătat o legătură între diagramele Feynman în Fizică și categoriile monoidale.^[2] O altă aplicație din teoria categoriilor, mai precis: teoria topologiilor, a generat teoria muzicii in matematică, vezi de exemplu cartea Topologia Muzicii, Logica Geometrică a Conceptelor, Teorii și Utilizări de Guerino Mazzola.

Vezi și

Note

^ Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. 49 (ed. 2nd). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.
^ Baez, J.C.; Stay, M. (2009). „Physics, topology, logic and computation: A Rosetta stone” (PDF).

Legături externe

Arhiva Video de înregistrat discuțiile relevante pentru categorii, logica și bazele fizicii.
Pagina interactiva, care generează exemple de construcții categorice în categoria seturilor finite.
Teoria categoriilor pentru Științe, o instruire despre teoria categoriilor ca un instrument în știința.

[1] Awodey, Steve (2010) [2006]. Category Theory. Oxford Logic Guides. 49 (ed. 2nd). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-923718-0.

[Baez09-2] Baez, J.C.; Stay, M. (2009). „Physics, topology, logic and computation: A Rosetta stone” (PDF).

[1]

[2]