Модуль Юнга

Модуль Юнга
Модуль Юнга
Размерность	L−1MT−2
Единицы измерения
СИ	Па
СГС	дин·см-2

Мо́дуль Ю́нга (синонимы: модуль продольной упругости, модуль нормальной упругости) — физическая величина, характеризующая способность материала сопротивляться растяжению, сжатию при упругой деформации^[1]. Обозначается большой буквой Е.

Назван в честь английского физика XIX века Томаса Юнга.

В динамических задачах механики модуль Юнга рассматривается в более общем смысле — как функционал деформируемой среды и процесса.

В Международной системе единиц (СИ) измеряется в ньютонах на квадратный метр или в паскалях. Является одним из модулей упругости.

Модуль Юнга рассчитывается следующим образом:

E={\frac {F/S}{\Delta l/l}}={\frac {Fl}{S\Delta l}},

где:

$F$ — нормальная составляющая силы,
$S$ — площадь поверхности, по которой распределено действие силы,
$l$ — длина деформируемого стержня,
$\Delta l$ — модуль изменения длины стержня в результате упругой деформации (измеренного в тех же единицах, что и длина $l$ ).

Через модуль Юнга вычисляется скорость распространения продольной волны в тонком стержне:

c={\sqrt {\frac {E}{\rho }}},

где $\rho$ — плотность вещества.

Связь с другими модулями упругости

В случае изотропного тела модуль Юнга связан с модулем сдвига $G$ и модулем объёмной упругости $K$ соотношениями

G={\frac {E}{2(1+\nu )}}

и

K={\frac {E}{3(1-2\nu )}},

где $\nu$ — коэффициент Пуассона.

Температурная зависимость модуля Юнга

Температурная зависимость модуля упругости простых кристаллических материалов объясняется исходя из того, что модуль упругости $M(T)$ определяется как вторая производная от внутренней энергии $W(T)$ по соответствующей деформации $E(T)={d^{2}W(T) \over d\varepsilon ^{2}}$ . Поэтому при температурах $T\leq \Theta _{D}$ ( $\Theta _{D}$ — температура Дебая) температурная зависимость модуля упругости определяется простым соотношением

M(T)=M_{0}-M_{1}T-M_{2}T^{2}

где $M_{0}$ — адиабатический модуль упругости идеального кристалла при $T\longrightarrow 0K$ ; $M_{1}T$ — дефект модуля, обусловленный тепловыми фононами; $M_{2}T^{2}$ — дефект модуля, обусловленный тепловым движением электронов проводимости^[2].

Значения модуля Юнга для некоторых материалов

Значения модуля Юнга для некоторых материалов приведены в таблице

Материал	модуль Юнга E, ГПа	Источник
Алюминий	70	^[3]
Бронза	75—125	^[3]
Вольфрам	350	^[3]
Германий	83	^[3]
Графен	1000	^[4]
Дюралюминий	74	^[3]
Железо	180	^[5]
Иридий	520	^[3]
Кадмий	50	^[3]
Кобальт	210	^[3]
Константан	163	^[3]
Кремний	109	^[3]
Латунь	95	^[3]
Лёд	3	^[3]
Магний	45	^[3]
Манганин	124	^[3]
Медь	110	^[3]
Никель	210	^[3]
Ниобий	155	^[6]
Олово	35	^[3]
Свинец	18	^[3]
Серебро	80	^[3]
Серый чугун	110	^[3]
Сталь	190—210	^[3]
Стекло	70	^[3]
Титан	112	^[3]
Фарфор	59	^[3]
Цинк	120	^[3]
Хром	300	^[3]

См. также

Закон Гука

Примечания

↑ Главный редактор А. М. Прохоров. Модули упругости // Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1983. — Статьи в Физическом энциклопедическом словаре и Физической энциклопедии.
↑ Паль-Валь Л. Н., Семеренко Ю. А., Паль-Валь П. П., Скибина Л. В., Грикуров Г. Н. Исследование акустических и резистивных свойств перспективных хромо-марганцевых аустенитных сталей в области температур 5—300 К // Конденсированные среды и межфазные границы. — 2008. — Т. 10, вып. 3. — С. 226—235. Архивировано 7 ноября 2017 года.
↑ ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ ¹⁷ ¹⁸ ¹⁹ ²⁰ ²¹ ²² ²³ ²⁴ ²⁵ ²⁶ Анурьев В. И. Справочник конструктора-машиностроителя в 3т. Т. 1/В. И. Анурьев; 8-е изд., перераб и доп. Под ред. И. Н. Жестковой. — М.: Машиностроение, 2001. — С. 34. ISBN 5-217-02963-3
↑ Галашев А. Е., Рахманова О. Р. Устойчивость графена и материалов на его основе при механических и термических воздействиях (рус.) // Успехи физических наук. — М.: РАН, ФИАН, 2014. — Т. 184, вып. 10. — С. 1051. Архивировано 2 апреля 2016 года.
↑ В.Д. Нацик, П.П. Паль-Валь, Л.Н. Паль-Валь, Ю.А. Семеренко. Низкотемпературный a-пик внутреннего трения в ниобии и его связь с релаксацией кинков на дислокациях // ФНТ. — 2001. — Т. 27, вып. 5. — С. 547—557. Архивировано 7 ноября 2017 года.
↑ П.П. Паль-Валь, В.Д. Нацик, Л.Н. Паль-Валь, Ю.А. Семеренко. Нелинейные акустические эффекты в монокристаллах ниобия, обусловленные дислокациями // ФНТ. — 2004. — Т. 30, вып. 1. — С. 115—125. Архивировано 7 ноября 2017 года.

Литература

Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики / В. С. Волькенштейн. — СПб.: Лань, 1999. — 328 с.

Ссылки

Квазистатический модуль Юнга (код на Mathcad).

[1] Главный редактор А. М. Прохоров. Модули упругости // Физический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия (рус.). — 1983. — Статьи в Физическом энциклопедическом словаре и Физической энциклопедии.

[2] Паль-Валь Л. Н., Семеренко Ю. А., Паль-Валь П. П., Скибина Л. В., Грикуров Г. Н. Исследование акустических и резистивных свойств перспективных хромо-марганцевых аустенитных сталей в области температур 5—300 К // Конденсированные среды и межфазные границы. — 2008. — Т. 10, вып. 3. — С. 226—235. Архивировано 7 ноября 2017 года.

[t1-3] ¹ ² ³ ⁴ ⁵ ⁶ ⁷ ⁸ ⁹ ¹⁰ ¹¹ ¹² ¹³ ¹⁴ ¹⁵ ¹⁶ ¹⁷ ¹⁸ ¹⁹ ²⁰ ²¹ ²² ²³ ²⁴ ²⁵ ²⁶ Анурьев В. И. Справочник конструктора-машиностроителя в 3т. Т. 1/В. И. Анурьев; 8-е изд., перераб и доп. Под ред. И. Н. Жестковой. — М.: Машиностроение, 2001. — С. 34. ISBN 5-217-02963-3

[2-4] Галашев А. Е., Рахманова О. Р. Устойчивость графена и материалов на его основе при механических и термических воздействиях (рус.) // Успехи физических наук. — М.: РАН, ФИАН, 2014. — Т. 184, вып. 10. — С. 1051. Архивировано 2 апреля 2016 года.

[5] В.Д. Нацик, П.П. Паль-Валь, Л.Н. Паль-Валь, Ю.А. Семеренко. Низкотемпературный a-пик внутреннего трения в ниобии и его связь с релаксацией кинков на дислокациях // ФНТ. — 2001. — Т. 27, вып. 5. — С. 547—557. Архивировано 7 ноября 2017 года.

[6] П.П. Паль-Валь, В.Д. Нацик, Л.Н. Паль-Валь, Ю.А. Семеренко. Нелинейные акустические эффекты в монокристаллах ниобия, обусловленные дислокациями // ФНТ. — 2004. — Т. 30, вып. 1. — С. 115—125. Архивировано 7 ноября 2017 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

Модуль Юнга
$E$
Размерность	L⁻¹MT⁻²
Единицы измерения
СИ	Па
СГС	дин·см^-2