Радиан

Радиан
Радиан
	рад
	; 1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности
Величина	величина угла
Система	СИ
Тип	основная
	Медиафайлы на Викискладе

Радиа́н (русское обозначение: рад, международное: rad; от лат. radius — луч, радиус) — центральный угол, соответствующий дуге окружности, длина которой равна радиусу^[1] этой окружности. Единица измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ), а также в системах единиц СГС и МКГСС^[2].

Некоторые важные углы, измеренные в радианах. Все многоугольники, изображённые на диаграммах, — правильные

Радианная мера — угловая мера, в которой за единицу принимается угол в 1 радиан. То есть, радианная мера любого угла — это отношение этого угла к радиану^[3]. Из определения следует, что величина полного угла равна 2π радиан (см. рис. справа).

Определить радианную меру можно и так: радианная мера угла — отношение длины дуги окружности, находящейся между сторонами угла, к радиусу этой окружности, когда центр окружности совпадает с вершиной угла. В геометрии для определения радианной меры угла используют единичную окружность с центром в вершине угла; тогда радианная мера угла равна длине дуги единичной окружности между сторонами угла^[4]^[5].

Поскольку длина дуги окружности пропорциональна её угловой мере и радиусу, длина дуги окружности радиуса R и угловой величины α, измеренной в радианах, равна α ∙ R.

Так как величина угла, выраженная в радианах, равна отношению длины дуги окружности (м) к длине её радиуса (м), угол в радианном измерении — величина безразмерная.

Радиан в Международной системе единиц (СИ)

В качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ) радиан был принят XI Генеральной конференцией по мерам и весам в 1960 году одновременно с принятием системы СИ в целом^[6]. В настоящее время в системе СИ радиан квалифицируется как когерентная^[7] безразмерная производная единица СИ, имеющая специальные наименование и обозначение. Русское обозначение — рад, международное — rad^[8].

Безразмерность плоского угла означает, что единицей его измерения является число один. Однако, применительно к плоскому углу единице «один» было присвоено специальное наименование «радиан» для того, чтобы в каждом конкретном случае облегчить понимание того, какая именно величина имеется в виду^[9].

Кратные и дольные единицы

Десятичные кратные и дольные единицы радиана образуются с помощью стандартных приставок СИ, однако используются редко. Так, в миллирадианах, микрорадианах и нанорадианах измеряется угловое разрешение в астрономии. В кратных единицах (килорадианах и т. д.) измеряется набег угловой фазы. Сокращённое обозначение (рад, rad) основной и производных единиц не следует путать с устаревшей единицей измерения поглощённой дозы ионизирующего излучения — рад.

Кратные				Дольные
величина	название	обозначение		величина	название	обозначение
10¹ рад	декарадиан	дарад	darad	10⁻¹ рад	децирадиан	драд	drad
10² рад	гекторадиан	град	hrad	10⁻² рад	сантирадиан	срад	crad
10³ рад	килорадиан	крад	krad	10⁻³ рад	миллирадиан	мрад	mrad
10⁶ рад	мегарадиан	Мрад	Mrad	10⁻⁶ рад	микрорадиан	мкрад	µrad
10⁹ рад	гигарадиан	Град	Grad	10⁻⁹ рад	нанорадиан	нрад	nrad
10¹² рад	терарадиан	Трад	Trad	10⁻¹² рад	пикорадиан	прад	prad
10¹⁵ рад	петарадиан	Прад	Prad	10⁻¹⁵ рад	фемторадиан	фрад	frad
10¹⁸ рад	эксарадиан	Эрад	Erad	10⁻¹⁸ рад	атторадиан	арад	arad
10²¹ рад	зеттарадиан	Зрад	Zrad	10⁻²¹ рад	зепторадиан	зрад	zrad
10²⁴ рад	йоттарадиан	Ирад	Yrad	10⁻²⁴ рад	иокторадиан	ирад	yrad
10²⁷ рад	роннарадиан	Рнрад	Rrad	10⁻²⁷ рад	ронторадиан	рнрад	rrad
10³⁰ рад	кветтарадиан	Кврад	Qrad	10⁻³⁰ рад	квекторадиан	кврад	qrad
рекомендовано к применению применять не рекомендуется не применяются или редко применяются на практике

Связь радиана с другими единицами

Угол в 1 радиан.

Пропорциональное соотношение радиана с другими единицами измерения углов описывается формулой:

1 радиан = 1/(2π) оборотов = 180/π градусов = 200/π градов.

Очевидно, развернутый угол равен $180^{\circ },$ или ${\frac {\pi \cdot r}{r}}=\pi$ радианам. Отсюда вытекает тривиальная формула пересчёта из градусов, минут и секунд в радианы и наоборот.

a[°] = α[рад] × (360° / (2π)) или α[рад] × (180° / π),

α[рад] = a[°] : (180° / π) = a[°] × (π / 180°),

где α[рад] — угол в радианах, a[°] — угол в градусах.

1 рад (или $\rho ^{\circ }$ ) = ${\frac {360^{\circ }}{2\pi }}\approx 57{,}295779513^{\circ }\approx 57^{\circ }17'44{,}806''$ (мнемоническое правило запоминания в градусах-минутах-секундах: "Число радиана и порядок шутя пишу наизусть", где число букв в каждом слове равно соответствующей цифре в записи значения радиана, до десятой доли угловой секунды)

$\rho '$ (или 1 рад в минутах) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'}{2\pi }}\approx 3437{,}747'$

$\rho ''$ (или 1 рад в секундах) = ${\frac {360^{\circ }\cdot 60'\cdot 60''}{2\pi }}\approx 206264{,}8''.$

Номограмма для перевода радианы/градусы.

В метрической системе угловых мер прямой угол делится на 100 градов и каждый град на 100 сантиградов, который, в свою очередь, делится на сотые доли сантиграда, так что
$\rho _{\prime \prime }$ (или 1 рад в сотых долях «сантиграда») = ${\frac {400\cdot 100\cdot 100}{2\pi }}\approx 636620.$
Употреблять его практически не приходится, так как метрическая система угловых мер пока не получила широкого распространения.

Чтобы легче запомнить, как переводят радианы в градусы и обратно, заметим:
Переводя радианы в градусы (или в минуты, или в секунды), мы из отвлеченного числа ( $\mathrm {rad}$ ) делаем именованное ( $\rho ^{\circ },\rho ',\rho ''$ ) и поэтому должны множить на $\rho ^{\circ }~($ или $\rho ',\rho '')$ ;
Переводя градусы в радианы, мы, наоборот, уничтожаем наименование: получаем отвлечённое число; значит, здесь надо делить на $\rho ^{\circ }~($ или $\rho ',\rho ''),$ либо же умножать на перевёрнутую дробь ${\frac {1}{\rho ^{\circ }}}~({\frac {1}{\rho '}},{\frac {1}{\rho ''}}).$

Пример 1. Перевести в радианы $5^{\circ }43'46''.$

${\boldsymbol {\alpha }}[\mathrm {rad} ]\eqcirc 5^{\circ }={\frac {5^{\circ }}{\displaystyle {\rho ^{\circ }}}}~\mathrm {rad} =0{,}0872_{6}$ ^[10]

$43'={\frac {43'}{\rho '}}~\mathrm {rad} =0{,}0125_{08}$ ^[10]

$46''={\frac {46''}{\rho ''}}~\mathrm {rad} =0{,}0002_{23}$ ^[10]

$\sum \approx 0{,}0999_{9}~\mathrm {rad}$ ^[10] $=0{,}1~\mathrm {rad}$

Альтернативный способ предусматривает перевод минут и секунд в десятичные (сотые и десятитысячные) доли градуса,
и однократного деления на $\rho ^{\circ }:$ (как правило, этот способ более точен)

$46''={\frac {46''}{60''}}=0{,}{\boldsymbol {77}}'$

$43{,}{\boldsymbol {77}}'={\frac {43{,}77'}{60'}}=0{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }$

$\sum =5{,}{\boldsymbol {7295}}^{\circ }$

$5{,}7295^{\circ }={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\rho ^{\circ }}}~\mathrm {rad} ={\frac {5{,}7295^{\circ }}{\displaystyle {57{,}295^{\circ }}}}=0{,}1~\mathrm {rad}$

Пример 2. Перевести в градусы 1 радиан.

$a[^{\circ }]\eqcirc 1\cdot {\frac {360^{\circ }}{2\pi }}=1\cdot 57{,}29578^{\circ }=57{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }$

$0{,}{\boldsymbol {29578}}^{\circ }\cdot 60'=17{,}{\boldsymbol {7468}}'$

$0{,}{\boldsymbol {7468}}'\cdot 60''=44{,}807''\approx 45''$

Итого $\approx 57^{\circ }17'45''.$

Таблица градусов, радиан и град

Таблица углов^[11]
Угол, в долях от полного	Градусы	Радианы	Грады	Синус	Косинус	Тангенс
$0$	$0^{\circ }$	$0$	$0^{\mathrm {g} }$	$0$	$1$	$0$
${\frac {1}{24}}$	$15^{\circ }$	${\frac {\pi }{12}}$	$16{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$2-{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{12}}$	$30^{\circ }$	${\frac {\pi }{6}}$	$33{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\frac {1}{8}}$	$45^{\circ }$	${\frac {\pi }{4}}$	$50^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$
${\frac {1}{6}}$	$60^{\circ }$	${\frac {\pi }{3}}$	$66{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {5}{24}}$	$75^{\circ }$	${\frac {5\pi }{12}}$	$88{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$2+{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{4}}$	$90^{\circ }$	${\frac {\pi }{2}}$	$100^{\mathrm {g} }$	$1$	$0$	не определён
${\frac {7}{24}}$	$105^{\circ }$	${\frac {7\pi }{12}}$	$116{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-2-{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{3}}$	$120^{\circ }$	${\frac {2\pi }{3}}$	$133{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$
${\frac {3}{8}}$	$135^{\circ }$	${\frac {3\pi }{4}}$	$150^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1$
${\frac {5}{12}}$	$150^{\circ }$	${\frac {5\pi }{6}}$	$166{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\frac {11}{24}}$	$165^{\circ }$	${\frac {11\pi }{12}}$	$183{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	${\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}-1)$	$-{\frac {\sqrt {2}}{4}}({\sqrt {3}}+1)$	$-2+{\sqrt {3}}$
${\frac {1}{2}}$	$180^{\circ }$	$\pi$	$200^{\mathrm {g} }$	$0$	$-1$	$0$
${\frac {7}{12}}$	$210^{\circ }$	${\frac {7\pi }{6}}$	$233{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\frac {1}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$
${\dfrac {5}{8}}$	$225^{\circ }$	${\dfrac {5\pi }{4}}$	$250^{\mathrm {g} }$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$-{\dfrac {\sqrt {2}}{2}}$	$1$
${\frac {2}{3}}$	$240^{\circ }$	${\frac {4\pi }{3}}$	$266{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
${\frac {3}{4}}$	$270^{\circ }$	${\frac {3\pi }{2}}$	$300^{\mathrm {g} }$	$-1$	$0$	не определён
${\frac {5}{6}}$	$300^{\circ }$	${\frac {5\pi }{3}}$	$333{\frac {1}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$-{\sqrt {3}}$
${\frac {7}{8}}$	$315^{\circ }$	${\frac {7\pi }{4}}$	$350^{\mathrm {g} }$	$-{\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	$-1$
${\frac {11}{12}}$	$330^{\circ }$	${\frac {11\pi }{6}}$	$366{\frac {2}{3}}^{\mathrm {g} }$	$-{\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$-{\frac {\sqrt {3}}{3}}$
$1$	$360^{\circ }$	$2\pi$	$400^{\mathrm {g} }$	$0$	$1$	$0$

Радианная мера в математическом анализе

При рассмотрении тригонометрических функций в математическом анализе всегда считается, что аргумент выражен в радианах, что упрощает запись; при этом само обозначение рад (rad) часто опускается.

При малых углах синус и тангенс угла, выраженного в радианах, приблизительно равны самому углу (в радианах), что удобно при приближённых вычислениях. При углах менее $0{,}1~\mathrm {rad} ~(5^{\circ }43'{,}77)$ , приближение можно считать верным до третьего знака после запятой. Если угол меньше $0{,}01~\mathrm {rad} ~(0^{\circ }34'{,}38)$ , — то до шестого знака после запятой^[12]:

\sin \alpha \approx \operatorname {tg} \,\alpha \approx \alpha .

История

Первое использование радиана вместо углового градуса обычно приписывают Роджеру Котсу (XVIII век), который считал эту единицу измерения угла наиболее естественной^[13]. Однако идея измерять длину дуги радиусом окружности использовалась и другими математиками. Например, Аль-Каши использовал единицу измерения, названную им «часть диаметра», которая равнялась 1/60 радиана. Также им использовались и более мелкие производные единицы^[14].

Термин «радиан» впервые появился в печати 5 июня 1873 года в экзаменационных билетах, составленных Джеймсом Томсоном из Университета Квинса в Белфасте. Томсон использовал термин не позднее 1871 года, в то время как Томас Мьюр из Сент-Эндрюсского университета в 1869 году колебался в выборе между терминами «рад», «радиал» и «радиан». В 1874 году Мьюр, после консультаций с Джеймсом Томсоном, решил использовать термин «радиан»^[15]^[16]^[17].

См. также

Примечания

↑ Радиан // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. Архивировано 21 января 2022 года.
↑ Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.
↑ Выгодский, 1965.
↑ Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002.
↑ David E. Joyce. Measurement of Angles (англ.). Dave's Short Trig Course. Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. Архивировано 7 сентября 2015 года.
↑ Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 28 июля 2012 года.
↑ Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.
↑ ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. (неопр.) Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано из оригинала 10 ноября 2012 года.
↑ Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 7 октября 2014 года.
↑ ¹ ² ³ ⁴ Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.
↑ Abramowitz & Stegun, 1972, p. 74, 4.3.46.
↑ $\sin 5^{\circ }43'{,}77=0{,}0998\approx 0{,}100$
$\operatorname {tg} 5^{\circ }43'{,}77=0{,}1003\approx 0{,}100$ (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)

$\sin 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0099998\approx 0{,}010000$

$\operatorname {tg} 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0100003\approx 0{,}010000$ (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы $5^{\circ }43'{,}77~(\approx 5^{\circ }43'46'')$ и $0^{\circ }34'{,}38~(\approx 0^{\circ }34'23'')$ ; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.)
↑ O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. Biography of Roger Cotes (неопр.). The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. Архивировано 24 сентября 2012 года.
↑ Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — S. 40.
↑ Florian Cajori. History of Mathematical Notations (неопр.). — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — ISBN 0-486-67766-4.
↑ Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2110. — P. 156. — doi:10.1038/083156a0. — Bibcode: 1910Natur..83..156M.Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2112. — P. 217. — doi:10.1038/083217c0. — Bibcode: 1910Natur..83..217T.Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2120. — P. 459—460. — doi:10.1038/083459d0. — Bibcode: 1910Natur..83..459M.
↑ Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (неопр.) (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. Архивировано 18 января 2021 года.

Литература

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — Наука, 1965. — С. 340—343. — 424 с.
Гельфанд И. М., Львовский С. М., Тоом А. Л. Тригонометрия. — М.: МЦНМО, 2002. — С. 7—8. — 199 с. — ISBN 5-94057-050-X.
Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (англ.). — New York: Dover Publications, 1972. — ISBN 0-486-61272-4.

[1] Радиан // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4. Архивировано 21 января 2022 года.

[2] Деньгуб В. М., Смирнов В. Г. Единицы величин. Словарь-справочник. — М.: Издательство стандартов, 1990. — С. 98. — 240 с. — ISBN 5-7050-0118-5.

[_be4a4c41abb6529a-3] Выгодский, 1965.

[_1b906118a062d4fe-4] Гельфанд, Львовский, Тоом, 2002.

[5] David E. Joyce. Measurement of Angles (англ.). Dave's Short Trig Course. Clark University. Дата обращения: 8 сентября 2015. Архивировано 7 сентября 2015 года.

[6] Резолюция 12 XI Генеральной конференции по мерам и весам (1960) (англ.). Международное бюро мер и весов. Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 28 июля 2012 года.

[7] Производная единица измерения называется когерентной, если она выражается в виде произведения степеней основных единиц измерения с коэффициентом пропорциональности, равным единице.

[8] ГОСТ 8.417-2002. Государственная система обеспечения единства измерений. Единицы величин. (неопр.) Дата обращения: 18 сентября 2012. Архивировано из оригинала 10 ноября 2012 года.

[9] Units for dimensionless quantities, also called quantities of dimension one (англ.). SI Brochure: The International System of Units (SI). Международное бюро мер и весов (2006). Дата обращения: 19 декабря 2014. Архивировано 7 октября 2014 года.

[Лишки-10] ¹ ² ³ ⁴ Лишние цифры [после четвёртого знака после запятой] в выражениях минут и секунд зачастую отбрасываются ввиду того, что следующая цифра в выражении градусов неизвестна, и, следовательно, писать цифры дальше четвёртой [обозначены нижним индексом] — напрасный труд.

[_9d9d8f3abba39c94-11] Abramowitz & Stegun, 1972, p. 74, 4.3.46.

[12] $\sin 5^{\circ }43'{,}77=0{,}0998\approx 0{,}100$
$\operatorname {tg} 5^{\circ }43'{,}77=0{,}1003\approx 0{,}100$ (точность нарушается в четвертом знаке после запятой)

$\sin 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0099998\approx 0{,}010000$

$\operatorname {tg} 0^{\circ }34'{,}38=0{,}0100003\approx 0{,}010000$ (точность не выдерживается в седьмом знаке после запятой)
Именно поэтому промежутки шкал(ы) на счётной линейке имеют пределы $5^{\circ }43'{,}77~(\approx 5^{\circ }43'46'')$ и $0^{\circ }34'{,}38~(\approx 0^{\circ }34'23'')$ ; ниже этого значения (до 0) разграфки нет, так как углы (в радианах) совпадают со значениями синусов/тангенсов в пределах точности линейки (Панов Д. Ю. Счётная линейка. — 25-е изд. — М.: изд-во Наука (Гл. ред. физ.-мат. литературы), 1982. — 176 с.)

[13] O'Connor, J. J.; Robertson, E. F. Biography of Roger Cotes (неопр.). The MacTutor History of Mathematics (февраль 2005). Дата обращения: 3 февраля 2014. Архивировано 24 сентября 2012 года.

[14] Luckey, Paul. Der Lehrbrief über den kreisumfang von Gamshid b. Mas'ud al-Kasi (нем.) / Siggel, A.. — Berlin: Akademie Verlag, 1953. — S. 40.

[15] Florian Cajori. History of Mathematical Notations (неопр.). — 1929. — Т. 2. — С. 147—148. — ISBN 0-486-67766-4.

[16] Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2110. — P. 156. — doi:10.1038/083156a0. — Bibcode: 1910Natur..83..156M.Thomson, James. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2112. — P. 217. — doi:10.1038/083217c0. — Bibcode: 1910Natur..83..217T.Muir, Thos. The Term "Radian" in Trigonometry (англ.) // Nature. — 1910. — Vol. 83, no. 2120. — P. 459—460. — doi:10.1038/083459d0. — Bibcode: 1910Natur..83..459M.

[17] Miller, Jeff Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (неопр.) (23 ноября 2009). Дата обращения: 30 сентября 2011. Архивировано 18 января 2021 года.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

Радиан
рад
1 радиан — центральный угол, длина дуги которого равна радиусу окружности
Величина	величина угла
Система	СИ
Тип	основная
Медиафайлы на Викискладе