Расслоение

Расслоение — тройка $(X,\pi ,B)$, где $X$ — топологическое пространство, называемое пространством расслоения (а также тотальным, или расслоённым, пространством), $B$ — другое пространство, называемое базой расслоения, $\pi$ — непрерывное сюръективное отображение (проекция расслоения) $\pi \colon X\to B$ пространства $X$ в пространство $B$. Часто расслоением называют само отображение $\pi$ или пространство $X$.

Для каждого элемента $b\in B$ определяется слой над этим элементом как подмножество $F_{b}\subset X$ всех прообразов элемента $b\in B$, то есть $F_{b}=\pi ^{-1}(\{b\})$. Соответственно расслоение представляет собой объединение $F$ слоёв $F_{b}$, параметризованных базой $B$ и склеенных топологией пространства $X$.

Отображение $h\colon B\to X$ такое, что $\pi \circ h$ ― тождественное отображение на $B$ называется сечением расслоения $\pi :X\to B$,

Типы расслоений

Как правило, изучаются конкретные типы расслоений, такие как гладкое расслоение или локально тривиальное расслоение.

Расслоение называется тривиальным (выглядящим как прямое произведение), если его пространство гомеоморфно прямому произведению $B\times F$, а проекция задаётся каноническим образом: $\pi (b,f)=b,\quad b\in B,~f\in F$

Соответственно расслоение, локально (в некоторых окрестностях элементов) выглядящее как прямое произведение, называется локально-тривиальным расслоением.

Локально-тривиальное расслоение называется гладким, если функции переходов являются гладкими.

Векторное расслоение — отображение семейства векторных пространств в другое пространство (топологическое пространство, многообразие и так далее) $X$ так, что каждой точке $x$ пространства $X$ сопоставляется векторное пространство $V_{x}$, объединение которых образует пространство такого же типа, что и $X$. Образованное таким образом семейство векторных пространств называемое пространством векторного расслоения над $X$.

Касательное расслоение (гладкого) многообразия $M$ — это гладкое векторное расслоение, где в качестве семейства векторных пространств (пространства векторного расслоения) выступает объединение касательных пространств $TM$, а в качестве базы расслоения — само многообразие.

Некоторые другие специальные виды расслоений: расслоение Гуревича, расслоение Зейферта, расслоение Серра, расслоение Хопфа.

Литература

• Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: Фазис, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7.
• Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977. — 487 с.
• Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. — М.: Наука, 1981. — Т. 1. — 344 с.