Асимптота

Асимпто́та, или аси́мптота (от др.-греч. ἀσύμπτωτος — несовпадающая, не касающаяся кривой с бесконечной ветвью), — прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Термин впервые появился у Аполлония Пергского, хотя асимптоты гиперболы исследовал ещё Архимед.

Для гиперболы $y={\frac {1}{x}}$ асимптотами являются оси абсцисс и ординат. Кривая может приближаться к своей асимптоте, оставаясь с одной стороны от неё

Затухающие колебания. $y=e^{-0.1x}\sin(x)$. Кривая может бесконечное множество раз пересекать асимптоту

Пример асимптоты для кривой в пространстве. Спираль бесконечно приближается к прямой

Виды асимптот графиков

Вертикальная

Прямая вида $x=a$ является вертикальной асимптотой при выполнении хотя бы одного из равенств:

1. $\lim _{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty$
2. $\lim _{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty$.

Вертикальных асимптот может быть любое количество.

Прямая не может быть вертикальной асимптотой, если функция непрерывна в точке $a$. Поэтому вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции.

Горизонтальная и наклонная

На графике функции x+1/x, ось y (x = 0) и линия y=x являются асимптотами.

Наклонная асимптота — прямая вида $y=kx+b$, если выполняется хотя бы одно из равенств:

1. $\lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=b$
2. $\lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=b$.

При этом, если выполняется первое условие, то говорят, что эта прямая является асимптотой при $x\to +\infty$, а если второе, то асимптотой при $x\to -\infty$.

Если $k=0$, то асимптота также называется горизонтальной.

Замечание 1: Число наклонных асимптот у функции не может быть больше двух: одна при $x\to +\infty$ и одна при $x\to -\infty$, но она может быть одна или их вовсе может не быть.

Замечание 2: Некоторые источники включают требование, чтобы кривая не пересекала эту прямую в окрестности бесконечности.

Замечание 3: В некоторых случаях, таких как алгебраическая геометрия, асимптота определена, как прямая, которая является «касательной» к кривой на бесконечности.

Функция y=arctgx с двумя горизонтальными асимптотами

Обыкновенная и оскулирующая

Обыкновенная асимптота имеет с кривой на бесконечности касание первого порядка, оскулирующая асимптота — касание второго порядка. Эти асимптоты кубик отличаются друг от друга следующими свойствами:

• обыкновенная прямолинейная асимптота пересекает кубику на конечном расстоянии в одной и только одной точке;
• оскулирующая прямолинейная асимптота не пересекает кубику на конечном расстоянии.

Нахождение асимптот

Порядок нахождения асимптот

1. Нахождение точек разрыва, выбор точек, в которых есть вертикальная асимптота (прямой проверкой, что предел в этой точке есть $\pm \infty$).
2. Проверка, не являются ли конечными пределы $\lim _{x\to +\infty }f(x)=b$ и$\lim _{x\to -\infty }f(x)=b$. Если да, то существует горизонтальная асимптота $y=b$ при $+\infty$ и $-\infty$ соответственно.
3. Нахождение двух пределов $\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{x}}=k$
4. Нахождение двух пределов $\lim _{x\to \pm \infty }(f(x)-kx)=b$, если хотя бы один из пределов в пункте 3 или 4 не существует (или равен $\pm \infty$), то наклонной асимптоты при $x\to +\infty$ (или $x\to -\infty$) не существует.

Наклонная асимптота — выделение целой части

Нахождение наклонной асимптоты графика функции путём выделения целой части

Также наклонную асимптоту можно найти, выделив целую часть. Например:

Дана функция $f(x)={\frac {2x^{3}+5x^{2}+1}{x^{2}+1}}$.

Разделив нацело числитель на знаменатель, получим: $f(x)=2x+5+{\frac {-2x-4}{x^{2}+1}}=2x+5+(-2)\cdot {\frac {x+2}{x^{2}+1}}$.

При $x\to \pm \infty$, ${\frac {x+2}{x^{2}+1}}\to 0$,

и $y=2x+5$ является искомым уравнением наклонной асимптоты, причем с обеих сторон.

Свойства

• Среди конических сечений асимптоты имеют только гиперболы. Асимптоты гиперболы как конического сечения параллельны образующим конуса, лежащим в плоскости, проходящей через вершину конуса параллельно секущей плоскости. Максимальный угол между асимптотами гиперболы для данного конуса равен углу раствора конуса и достигается при секущей плоскости, параллельной оси конуса.

См. также

• Асимптотическая кривая

Литература

• Графики функций: Справочник / Вирченко Н. А., Ляшко И. И., Швецов К. И. — Киев: Наук. думка, 1979, — 320 с.
• Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии, 4-е изд. М., 1956.
• Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых 3-го порядка. М.: Физматлит, 1961. 271 с., ил.

Ссылки

• Асимптота // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Асимптота / Э. Г. Позняк // Ангола — Барзас. — М. : Советская энциклопедия, 1970. — (Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров ; 1969—1978, т. 2).