Гиперсфера

Гиперсфе́ра (от др.-греч. ὑπερ- «сверх-» + σφαῖρα «шар») — гиперповерхность в $n$-мерном евклидовом пространстве, образованная точками, равноудалёнными от заданной точки, называемой центром сферы.

• при $n=1$ гиперсфера вырождается в две точки, равноудалённые от центра;
• при $n=2$ она представляет собой окружность;
• при $n=3$ гиперсфера является сферой.
• при $n=4$ гиперсфера является 3-сферой.
• при $n=5$ гиперсфера является 4-сферой.

Стереографическая проекция трёх координатных направлений 3-сферы на трёхмерное пространство: параллелей, меридианов и гипермеридианов.
В исходном пространстве эти линии являются окружностями и образуют прямоугольную сетку на 3-сфере. Стереографическая проекция — конформное отображение, поэтому их образы также являются окружностями или прямыми и ортогональны друг другу.

Проекция трёхмерной проекции аппроксимации гиперсферы четырёхмерного пространства

…

• при $n=8$ гиперсфера является 7-сферой. 7-сфера примечательна тем, что эта размерность первая, в которой существуют экзотические сферы, то есть многообразия, гомеоморфные стандартной 7-сфере, но не диффеоморфные.

Расстояние от центра гиперсферы до её поверхности называется радиусом гиперсферы. Гиперсфера является $(n-1)$-мерным подмногообразием в $n$-мерном пространстве, все нормали к которому пересекаются в её центре.

Уравнения

Гиперсфера радиуса $R$ с центром в точке $a=\left\{a_{1},a_{2},\dots a_{n}\right\}$ задаётся как геометрическое место точек, удовлетворяющих условию:

$(x_{1}-a_{1})^{2}+(x_{2}-a_{2})^{2}+\cdots +(x_{n}-a_{n})^{2}=R^{2}$

Гиперсферические координаты

Как известно, полярные координаты описываются следующим образом:

$x=\rho \cdot \cos \alpha$

$y=\rho \cdot \sin \alpha$

а сферические координаты так:

$x=\rho \cdot \cos \alpha \cdot \cos \beta$

$y=\rho \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta$

$z=\rho \cdot \sin \beta$

n-мерный шар можно параметризовать следующим набором гиперсферических координат:

$x_{1}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}$

$x_{2}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \cos \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}$

$x_{3}=\rho \cdot \sin \alpha _{2}\cdot \cos \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos \alpha _{n-1}$

$\ldots$

$x_{n}=\rho \cdot \sin \alpha _{n-1}$

где $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]$ и $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$.

Якобиан этого преобразования равен

$J=\rho ^{n-1}\cos \,\alpha _{2}\cdot \cos ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \cos ^{n-2}\,\alpha _{n-1}$

В другом варианте,

$x_{1}=\rho \cdot \sin \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}$

$x_{2}=\rho \cdot \cos \alpha _{1}\cdot \sin \alpha _{2}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}$

$x_{3}=\rho \cdot \cos \alpha _{2}\cdot \sin \alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin \alpha _{n-1}$

$\ldots$

$x_{n}=\rho \cdot \cos \alpha _{n-1}$

где $\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots ,\alpha _{n-1}\in [0,\pi ]$ и $\alpha _{1}\in [0,2\pi )$.

Якобиан в такой форме равен

$J=\rho ^{n-1}\sin \,\alpha _{2}\cdot \sin ^{2}\,\alpha _{3}\cdot \ldots \cdot \sin ^{n-2}\,\alpha _{n-1}$

Площадь и объём

Площадь поверхности гиперсферы в пространстве размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

Объём гипершара размерности x единичного радиуса в зависимости от x.

В $n$-мерном евклидовом пространстве для гиперсферы размерности $n$ её площадь поверхности $S_{n}$ и объём $V_{n}$, ограниченный ею (объём n-мерного шара), можно рассчитать по формулам:

$S_{n}=nC_{n}R^{n-1}$

$V_{n}=C_{n}R^{n}$

где

$C_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)}}$

а $\Gamma (x)$ — гамма-функция. Этому выражению можно придать другой вид:

$C_{2k}={\frac {\pi ^{k}}{k!}}$

$C_{2k+1}={\frac {2^{k+1}\pi ^{k}}{(2k+1)!!}}$

Здесь $n!!$ — двойной факториал.

Так как

$V_{n}/S_{n-1}=R/n$

$S_{n+1}/V_{n}=2\pi R$

то объёмы шаров удовлетворяют рекуррентному соотношению

$V_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n}}V_{n-2}$

а площади их поверхностей соотносятся как

$S_{n}={\frac {2\pi R^{2}}{n-1}}S_{n-2}$

Следующая таблица показывает, что единичные сфера и шар принимают экстремальный объём для $S_{6}$ и $V_{5}$, соответственно.

Площади и объёмы гиперсфер и гипершаров при единичном радиусе

Размерность	1 (длина)	2 (площадь)	3 (объём)	4	5	6	7	8
Единичная сфера ($S_{n}$)	$2\pi$	$4\pi$	$2\pi ^{2}$	${\frac {8}{3}}\pi ^{2}$	$\pi ^{3}$	${\frac {16}{15}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{3}}\pi ^{4}$	${\frac {32}{105}}\pi ^{4}$
Десятичная запись	6.2832	12.5664	19.7392	26.3189	31.0063	33.0734	32.4697	29.6866
Единичный шар ($V_{n}$)	$2$	$\pi$	${\frac {4}{3}}\pi$	${\frac {1}{2}}\pi ^{2}$	${\frac {8}{15}}\pi ^{2}$	${\frac {1}{6}}\pi ^{3}$	${\frac {16}{105}}\pi ^{3}$	${\frac {1}{24}}\pi ^{4}$
Десятичная запись	2.0000	3.1416	4.1888	4.9348	5.2638	5.1677	4.7248	4.0587

В строке «размерность» таблицы содержится размерность поверхности геометрической фигуры, а не размерность пространства, в котором она находится. Для $n$-мерного шара размерность его «объёма» также равна $n$, а размерность его «площади» — $n-1$.

Отношение объёма $n$-мерного шара $V_{n}=C_{n}R^{n}$ к объёму описанного вокруг него $n$-куба $2^{n}R^{n}$ быстро уменьшается с ростом $n$, быстрее, чем $2^{-n}$.

Топология гиперсферы

В этом разделе под сферой $S_{n}$ будем понимать n-мерную гиперсферу, под шаром $B_{n}$ — n-мерный гипершар, то есть $S_{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n+1}$, $B_{n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{n}$.

• Сфера $S_{n}$ гомеоморфна факторизации шара $B_{n}$ по его границе.
• Шар $B_{n}$ гомеоморфен факторизации $B_{n}\simeq (S_{n-1}\times [0,1])/(S_{n-1}\times \{1\})$.
• Сфера является клеточным пространством. Простейшее клеточное разбиение состоит из двух клеток, гомеоморфных $B_{0}=\mathrm {pt}$ и $B_{n}$. Оно получается напрямую из построения сферы как факторпространства замкнутого шара. Клеточное разбиение также можно построить по индукции, разбивая $S_{n}$ вдоль экватора на две n-мерные клетки, гомеоморфные $B_{n}$, и сферу $S_{n-1}$, являющуюся их общей границей.

См. также

• Сфера Милнора
• Дикая сфера
• Расслоение Хопфа

Ссылки

• Гиперсфера (проект d’Amateur). Программы моделирования аппроксимации четырёхмерной гиперсферы и меридианов Архивная копия от 19 января 2008 на Wayback Machine
• Тренажёр для развития воображения гиперсферы: кубик Рубика в 4 и более измерениях Архивная копия от 25 января 2018 на Wayback Machine