Računanje

Račun (tal. razione) znači računanje, radnju s brojevima radi iznalaženja rezultata sabiranjem, oduzimanjem, množenjem ili deljenjem. Nauka o računanju se naziva aritmetika.

Postoje i druga značenja reči račun, koja ovde samo spominjemo radi potpunosti: (u prodavnici) obračun za kupljenu ili prodatu stvar; (u banci) obračun dugovanja; korist; mišljenje, shvatanje (zamisao, namera). Reč račun se upotrebljava u izrazima: praviti račun bez krčmara - raditi nepromišljeno; čist račun duga ljubav - poštenim odnosima čuva se prijateljstvo.

Definicije

Matematika se pored prostog računa, tj. aritmetike, bavi još nekim oblicima računanja:

Račun beskonačno malih (infinitezimalni račun). To je odeljak matematike koji obuhvata diferencijalni račun i integralni račun, koji se kod nas češće naziva matematička analiza, viša matematika, i ređe kalkulus;
Račun fluksija (teorija fluksija). To je bio najraniji oblik analize beskonačno malih veličina i diferencijalnog i integralnog računa (v. kalkulus), a stvorio ga je Isak Njutn i razvijao se u radovima engleskih matematičara. Simbolika Njutna u računu fluksija bila je nespretna i potisnuta je simbolikom diferencijalnog računa koju je uveo Lajbnic i koja se očuvala do danas. Promenljive veličine $x,y,z,...$ koje zavise od vremena, Njutn je nazvao fluentama, brzine njihovih promena (tokova) on je nazvao fluksijama i označavao ${\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}},...$ (prve fluksije), ${\ddot {x}},{\ddot {y}},{\ddot {z}},...$ (druge fluksije) itd. Fluksije su izvodi fluenta po vremenu. Beskonačno male promene fluente Njutn je nazivao momentima i označavao simbolom O, što odgovara diferencijalu fluente. Momenat vremena Njutn je označavao sa O, momenat fluente u sa $o{\dot {y}}.$ Ponekad su se uvodili specijalni simboli fluente 'y ili Oy (simbol kvadrature). Teorija fluksija postavlja dva osnovna zadatka: (1) odrediti brzinu kretanja u datom momentu vremena na osnovu zadanog puta (zadatak diferenciranja implicitne funkcije); (2) na osnovu zadane brzine kretanja odrediti pređeni put za određeno vreme (zadatak integralnog računa).
Račun konačnih razlika je odeljak matematike u kojem se izučavaju funkcije za diskretne vrednosti argumenata.
Račun verovatnoće, tj. Teorija verovatnoće.

Dekadni brojni sistem

Stari egipćani su koristili nepozicioni decimalni sistem brojeva. Decimalni pozicioni sistem sa nulom razvio se u Indiji, u Aziji.

Drevni Egipat

Valjda prvi poznati događaj u zbivanjima ljudi predstavlja godina 4241. pne. kada je u starom Egiptu uveden kalendar: godina se sastojala od 12 meseci po 30 dana i pet dana za svetkovine. Zato što je takav kalendar u osnovi veoma tačan, ovaj događaj uzimamo kao dokaz velikog životnog iskustva i razvijenih matematičkih veština starih Egipćana.

Već je u vreme drevnog carstva u Egiptu, oko 3600-2700. g.pne., matematika bila na relativno visokom nivou. U to doba građene su danas čuvene velike faraonske grobnice - piramide, građeni su kanali, nasipi, rezervoari za vodu, rađena su premeravanja zemljišta, popisi zemlje, stoke, ljudi, zlata, a astronomska znanja su im bila na nivou mogućnosti predskazivanja plavljenja Nila.

Iz tog doba potiče i prvo poznato matematičko ime: Imenhotep, koji je bio arhitekt i matematičar.

Iz vremena srednjeg carstva, 2000-1710. pne., imamo dragocene podatke i najstarije matematičke knjige, a to su Londonski papirus ili Papirus Rajnd (oko 18. st.) ili Ahmesova računica. Ahmes je ime egipatskog skrba, ili pisara, zanimanja koje je bilo vrlo cenjeno. Aleksandar Henri Rajnd je Englez koji je u 19. veku otkrio Ahmesovu računicu. Sledeći dokument je Moskovski papirus (oko 20. vek). Londonski papirus ima 85 zadataka, a Moskovski 25.

Egipćani su izvodili množenje pomoću udvostručavanja a deljenje pomoću polovljenja. Staroegipatska matematika je sa našeg stanovišta bila posebno zanimljiva. Najprije su radili služeći sa razlomcima ${\frac {1}{2}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{8}},{\frac {1}{16}},{\frac {1}{32}},$ kasnije i sa ${\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},$ i najzad sa ${\frac {1}{n}}.$ Ostale razlomke prikazivali su aditivno pomoću prethodnih. Na primer, ${\frac {4}{5}}={\frac {1}{30}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {2}{3}}.$ Za razlomke ${\frac {2}{n}}$ Londonski papirus daje razlaganja za $n=3,4,5,...,101;$ tako na primer ${\frac {2}{3}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}},\;{\frac {2}{101}}={\frac {1}{101}}+{\frac {1}{202}}+{\frac {1}{303}}+{\frac {1}{606}}.$

Egipćani su rešavali ono što mi danas zovemo linearne jednačine metodom pogrešne predstavke. Na primer, jednačinu $x+{\frac {1}{7}}x=19$ iz 24. zadatka Londonskog papirusa rešavaju tako da stave približno $x_{1}=7$ a onda taj broj ubace u levu stranu jednačine i nađu određenu vrednost $r_{1}=x_{1}+{\frac {1}{7}}x_{1};$ zatim odrede $x_{1}{\frac {19}{r_{1}}}=x$ kao pravo rešenje. Uopšte, ako je $\left({\frac {a_{1}}{b_{1}}}+{\frac {a_{2}}{b_{2}}}+...+{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)x=c,$ stavi se $x_{1}=b_{1}b_{2}...b_{n}$ pa se izračuna $\left({\frac {a_{1}}{b_{1}}}+...+{\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)x_{1}=c_{1},$ a onda se nađe traženo rešenje u obliku $x=x_{1}\cdot {\frac {c}{c_{1}}}.$

U Ahmesovoj računici nalazi se i jedan zadatak koji bi danas napisali sistemom jednačina: $x^{2}+y^{2}=100,\;y={\frac {3}{4}}x.$ To je u istoriji prvi poznati sistem jednačina, a navedeno je ispravno rešenje $x=8,\;y=6,$ koje je tamo dobijeno metodom pogrešnog položaja.

Stara Indija

Decimalni sistem brojeva je posebno dobro poznavao Hindus Arabhata (476-550.) koji je živeo na gornjem Gangu početkom 6. veka, ali prvi pisani dokaz o decimalnim ciframa i nuli potiče iz 595. godine (odnosno godine 346. razdoblja cedi). Sam oblik nule nam nije poznat sve do 9. stoleća: bio je oblika tačke pa kruga. Nula u obliku kružnice se prvi put javlja na jednoj bakrenoj ploči u Indiji 738. godine.

Današnji decimalni sistem i njegovi znakovi razvili su se u Indiji verovatno u vezi sa računanjem na abaku prosutu peskom ili prašinom, tim pre što u sanskritu ima nezavisnih posebnih reči za potencije $10,\;10^{2},\;...,10^{9},\;10^{10}.\;$ Sistem se toliko bio razvio da ga Ariabhata (5/6. vek) i Brahmagupta (6. vek) ni ne tumače u svojim delima. U Siriji se sistem spominje 666. g., a Arapi su ga primili i raširili u 7. i 8. veku.

Arapski počeci

Prvu arapsku matematiku u indijskom sistemu napisao je persijski matematičar Mohamed ibn Musa zvan Al Horezmi (Al Kowarizmi - iskrivljavanjem, nastala je reč algoritam). Živeo je u Bagdadu oko 825. godine kao knjižničar na dvoru halifa al Mamuna, sina Harum al Rašida (i otac i sin su mu bili simpatizeri matematike). Rođen je pod imenom Muhamed ibn Musa u današnjoj Hivi. Njegova algebra se zvala Al-gebr w'al muqabalah a napisana je oko 825. godine. To delo i njen pisac su postali veoma poznati u istoriji matematike, pa je Bagdad, novi grad osnovan oko 762. godine, ostao tokom više od pet stoleća jako matematičko središte, u kojem su uz muhamedance delovali i hebrejski i hrišćanski matematičari. Iz naslova tog dela nastao je naziv algebra, tada nove matematičke discipline. Inače, sama reč Al-gebr (lat. restauratio) značila je uspostavljanje, restauriranje, a operacija na jednačinama je bila da se dobije ekvivalentna jednačina sa samim pozitivnim članovima. Onaj drugi izraz u naslovu Al muquabalah (lat. oppositio) iskazivao je operaciju umanjivanja za isti (manji) broj sa obe strane jednakosti.

Al Horezmijeva algebra je imala veliki uticaj na razvoj matematičke misli. Delo je bilo bazirano na Brahmaguptinoj algebri kao i uopšte na indijskoj matematici, ali i na grčkoj matematici. Sadržavalo je razrađen dekadni sistem brojeva sa nulom i prevedeno je na latinski jezik u 12. veku.

Pristalice dekadnog sistema su u Evropi 12-14. veka po Al Horezmiju nazivane algoritmistima, za razliku od njihovih protivnika tzv. abakista koje je predvodio papa Silvester drugi (rođen Gerbert, 950-1003), a koji su se služili rimskim brojevnim sistemom i abakom usavršenim time što su za "kuglice" i "marke" uzimali žetone, "apices" - brojke 1, 2, ..., 9 (bez nule).

Knjiga Al gebr ... je stavljana u protivtežu sa poznatom školskom knjigom Aritmetika (Quadrivium) što ju je napisao rimski državnik i filozof Boetije (Boethius, 475-526), a koja je bazirana na udžbeniku Aritmetici koju je oko 100. godine napisao Nikomah. Te dve aritmetike su u srednjem veku bili priznati udžbenici matematike.

Arapska matematika je imala uticaja na hrišćansku matematiku u Španiji, Italiji, Francuskoj. Najpoznatiju algebru srednjeg veka napisao je Leonardo Fibonači (Leonardo Fibonacci, 1180?-1250?): Račun (Liber abaci, 1202., prerađeno 1228.). U tom delu se nalazi i tzv. Fibonačijev identitet: $(a^{2}+b^{2})(c^{2}+c^{2})=(ac\pm bd)^{2}+(ad\mp bc)^{2},$ koji je vezan s trigonometrijom, teorijom brojeva itd. Knjiga "Račun" nije pisana u stilu abakista, već je bila u drugom duhu, na bazi dekadnog pozicionog sistema koji je autor izučio u Alžiru gde mu je otac bio carinski činovnik. Leonardo je rođen u Italiji, Piza, pa se osim njegovog pravog imena Fibonači često govori o Leonardu Pizanu, ili Leonardu iz Pize.

Osnovne računske operacije

Osnovne računske operacije su sledeće dve: sabiranje i množenje . Oduzimanje i deljenje su definisane a ne osnovne (bez definicije). Definicije: a-b=a+(-b), a/b=a*(1/b), b+(-b)=0, b*(1/b)=1, (b nije nula)

Deljenje 2,3 sa 4,1 je isto što i 23:41, jer je u pitanju razlomak (jednake vrednosti) proširen sa 10. Deleći 0,23 sa 4,1 dobili bi (približno) 0,0561. Isto kao kada bi delili 2,3:41 a decimalni zarez u rezultatu bi otvorili nakon spuštanja prve cifre iza decimalnog zareza deljenika (3).

Kvadratni koren

Za izračunavanje drugog korena broja obično ne koristimo osnovne računske operacije. Ali, ako ih koristimo, onda broj prvo podelimo u klase po dve cifre levo i desno od decimalnog zareza. Prva klasa je sa leve strane (može biti jednocifren broj), na slici levo to je broj 23, je malo veća od 4 na kvadrat. Prva cifra rezultata je 4. Oduzimamo kvadrat, tj. 23-16=7. Spuštamo drugu klasu, dve nule, i delimo desno sa dvostrukim rezultatom dopunjenim do prvog manjeg proizvoda, 700:87*7, jer je 87*7=609 - manje od 700, a 88*8=704 - previše. Ponovo oduzimamo i spuštamo sledeću klasu desno, tj. 9100. Delimo dvostrukim rezultatom 94 proširenim sledećom cifrom tako da dobijemo najbliži manji proizvod, to je 949*9=8541. Oduzimamo 9100-8541=559, spuštamo novu klasu desno i delimo dvostrukim rezultatom. Sada je dopuna 5, tj. 9585*5=47925 je manje od 55900, dok je 9586*6=57516 prestup (više od 55900) itd. Približan rezultat je 4,795.

Drugi primer, na slici desno, isti postupak. Tražimo kvadratni koren broja 341,5. Prva klasa levo je broj 3, celi deo korena je 1, prva cifra rezultata je 1. Od klase 3 oduzimamo kvadrat rezultata 1 i dobijamo 2, potpisujemo i spuštamo sledeću klasu, broj 41. Delimo dvostrukim rezultatom 2 kome dopišemo cifru 8 tako da je proizvod 28*8 najbliži manji potpisanom 241 broju levo. Rezultat oduzimanja 241-28*8=17 potpisujemo i spuštamo novu klasu, iza zareza, dobili smo broj 1750, koji desno delimo sa dvostrukim rezultatom 36 kome dopišemo 4 tako da je 364*4=1456 još uvek manje od 1750. Opet oduzimamo 1750-1456=294, spuštamo novu klasu, sada je levo broj 29400, a desno dvostruki rezultat 368 proširen sa 8, jer je 3688*8=29504 približno 29400. Konačni rezultat je približno 18,48.

Ostali brojni sistemi

Prvi pozicioni sistem brojeva sa nulom razvile su Maje (koje su živele na poluostrvu Jukatan u Srednjoj Americi), u 4. veku pre naše ere. Baza računanja bila je broj 20; znak za nulu bila je slika školjke (poput zatvorenog oka), a cifre 1-19 su se gradile pomoću tačkica i horizontalnih paralelnih crtica; npr. tri horizontalne crte bio je broj 15, tri horizontalne crte sa tačkom iznad je broj 16, isto sa dve tačke iznad 17, sa tri tačke 18, sa četiri tačke 19. Maja su pisali u stupcima, odozdo prema gore, zdesna nalevo.

Izvori

Dr Đuro Kurepa, Viša algebra II, treće izdanje, Građevinska knjiga, Beograd, 1979.