Beskonačnost (matematika)

U matematici, beskonačnost se obično tretira kao broj (tj. njime se broje ili mere stvari: „beskonačan broj pojmova”) ali to nije ista vrsta broja kao prirodni ili realni broj. U matematici je to količina koja nije konačna. Georg Kantor je formalizovao mnoge ideje vezane za beskonačnost i beskonačne skupove tokom kasnog 19. i ranog 20. veka. U teoriji koju je on razvio, postoje beskonačni skupovi različitih veličina (zvanih kardinalnosti). Na primer, skup celih brojeva je prebrojivo beskonačan, dok je beskonačni skup realnih brojeva neprebrojiv.

Simbol za beskonačno

Matematika se bavi veličinama i koristi se simbolima. Stoga je u matematici beskonačnost povezana sa veličinama (i ima svoj simbol). U matematici postoji beskonačno velika veličina, ali takođe i beskonačno mala veličina (što je skoro isto što i nula). U prirodi beskonačnost nije realna pretpostavka. Čak i kada se govori o vasioni, govori se o dimenzijama odnosno o nekakvim granicama. Kada se govori o superprovodnosti, nije u pitanju beskonačno mala otpornost već toliko mala da nije merljiva (ali ipak postoji i može se ispisati brojkama). Kada se govori o beskonačnosti vremena, upotrebljava se izraz večnost.

Beskonačnost je jedan od „težih“ pojmova filozofije, ali u matematici isti pojam i nije tako spekulativan. Nešto što je beskonačno u matematici bi trebalo biti u relaciji poretka, ne sme biti konačno i ne sme biti kontradiktorno. I to je sve. Konačni su prirodni, celi, racionalni i iracionalni broj, dakle svaki realan broj je konačan, a za kompleksne ne važi relacija poretka i tu negde završava spekulacija.

Postoje dve vrste beskonačnosti u matematici danas: potencijalna i aktuelna. Potencijalnu beskonačnost su uveli u matematiku Isak Njutn i Gotfrid Vilhelm Lajbnic kada su otkrili infinitezimalni račun, a aktuelnu beskonačnost su otkrili Georg Kantor i Julijus Vilhelm Ričard Dedekind sa otkrićem teorije skupova.

Potencijalna beskonačnost

Isak Njutn je u 17. veku otkrio da možemo računati na niz veličina koje postaju veće od svakog unapred datog broja, i da pri tome ne upadnemo u kontradikcije; svoje otkriće je nazvao račun fluksija. Negde u isto vreme, slično otkriće imao je i Gotfrid Lajbnic. Obojica su primetili da se tački O na H-osi možemo približavati sa desne strane, uzimajući redom brojeve: 0,1 zatim 0,01 pa 0,001 itd. beskonačan niz koraka, sve manjih brojeva, a da za neko konačno vreme, tj. za neki konačan broj koraka ne možemo dostići tačnu vrednost nula. To je oblast infinitezimalnog računa, na engleskom kalkulus.

Aktuelna beskonačnost

Gavrilova truba, figura koja ima beskonačnu površinu, ali ograničenu zapreminu.

Aktuelna beskonačnost je u matematiku ušla sa G. Kantorom i Dedekindom krajem XIX i početkom XX veka. Osnivači teorije skupova su primetili da prebrojavati nešto znači uspostaviti funkciju bijekciju - obostrano jednoznačno preslikavanje, između skupa prirodnih brojeva i predmeta koje brojimo. Kada brojimo loptice u nekoj kutiji, odvojimo prvu i kažemo jedan, zatim odvojimo drugu i kažemo dva, odvojimo treću - tri, itd. dok ne izvadimo poslednju lopticu iz kutije. Poslednji izgovoreni broj je broj loptica u kutiji, jer smo napravili relaciju gde sa tačno jednim od brojeva ide tačno jedna od loptica iz kutije. Osnivači teorije skupova su otišli i dalje i uporedili su po veličini neke poznate skupove. Međusobno su uporedili veličine skupova prirodnih, celih, racionalnih i iracionalnih brojeva. Broj elemenata skupa nazvali su kardinalni broj tog skupa.

Prebrojavanje

U vreme kada je otkriveno prebrojavanje već je bila veoma razvijena matematička analiza, Njutn-Lajbnicov račun, i znalo se da ne postoji najveći prirodni broj (najmanji je broj 1).

1. Prvi od navedenih, skup prirodnih brojeva {1, 2, 3, ...}, označili su sa $\mathbb {N} \,$ i dodelili mu kardinalni broj alef nula $\aleph _{o}.\,$ Primetimo da sve što se može brojati redom: prvi, drugi, treći, ... u beskraj, na način da se u jedan takav niz mogu staviti svi njegovi elementi, može proglasiti skupom sa kardinalnim brojem alef nula. Za svaki takav skup kažemo da je prebrojiv skup.
2. Prebrojiv skup je skup celih brojeva $\mathbb {Z} ,\,$ jer ga celog možemo poredati u jedan niz, u kojem nema ponavljanja: 0, +1, -1, +2, -2, +3, -3, .... Primetimo da se ovaj skup prebrojava sporije, ali da to nije bitno jer prirodnih brojeva ima dovoljno. Kardinalni broj skupa celih brojeva je takođe alef nula, tj. $kard(\mathbb {Z} )=\aleph _{o}.$
3. Prebrojiv je i skup racionalnih brojeva, tj. skup razlomaka $\mathbb {Q} =\left\{{\frac {m}{n}}|m\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {N} \right\}.$
4. Nije prebrojiv skup iracionalnih brojeva $\mathbb {I} .$

Prema tome nije prebrojiv niti skup realnih brojeva $\mathbb {R} ,$ jer je on unija racionalnih i iracionalnih, koji nemaju međusobno jednakih elemenata. Drugi zaključak, osnivači teorije skupova su našli najmanje dve aktuelne beskonačnosti, prvu su nazvali alef nula, a druga je kontinuum.

Teoreme

Teorema 1

Unija prebrojivo mnogo prebrojivih skupova je prebrojiva.

Dokaz

Elemente prebrojivih skupova možemo redati u nizove. Elemente prvog skupa označimo sa $X_{11},X_{12},X_{13},...,$ drugog skupa sa $X_{21},X_{22},X_{23},...,$ trećeg sa $X_{31},X_{32},X_{33},...$ Složimo ove nizove u matricu, kao na slici desno, i krenimo ih prebrojavati po sporednim dijagonalama. U prvoj dijagonali, gore levo, imamo samo jedan elemenat $X_{11},$ u drugoj ih imamo dva $X_{21},X_{22},$ itd. u n-toj dijagonali imaćemo tačno n = 1, 2, 3, ... elemenata. U svakoj od ovih dijagonala zbir indeksa H-ova biće tačno n+1. Prema tome, ako je unapred dat proizvoljan elemenat, bilo kojeg od ovih skupova, npr. $X_{kj}$, pre svega on se nalazi u uniji, i sa druge strane, nalazi se u n=k+j+1-toj dijagonali, tj. u toku prebrojavanja doći će na red nakon konačno mnogo koraka. Prema tome, unija datih skupova je prebrojiva. Kraj dokaza.

Posebno, možemo lako izračunati redni broj elementa $X_{kj}$ iz prebrojavanja sa slike. Rbr. je

(broj svih elemenata u prethodnim dijagonalama) + (br. elemenata u poslednjoj dijagonali) =

(1 + 2 + 3 + ... + (k+j)) + j = ${\frac {(k+j)(k+j+1)}{2}}+j.$

Posledica ove teoreme je prebrojivost skupa racionalnih brojeva. Poredamo razlomke u redove matrice. Sleva udesno, odozgo nadole, stoje redovi: ${\frac {1}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {3}{1}},...$, zatim ${\frac {2}{1}},{\frac {2}{1}},{\frac {2}{1}},...$, i tako dalje. Ovaj skup elemenata je prebrojiv. Zatim dodamu nulu, i za svakog od ovih razlomaka dodamo po još jedan razlomak iste apsolutne vrednosti ali suprotnog znaka. Elementi tako uvećanog skupa se takođe mogu opet poredati, naizmenično plus minus, u sličnu matricu. U toku tog prebrojavanja, preskačemo elemenat, razlomak čija se vrednost ponovi.

Teorema 2

Skup realnih brojeva iz intervala (0,1) nije prebrojiv.

Broj je u ovom intervalu, ako je veći od nule i manji od jedan.

Dokaz

Dokaz ćemo izvesti svođenjem na kontradikciju ( Kantorov dijagonalni postupak). Pretpostavimo da je moguće sve brojeve iz (0,1) poredati u niz, i označimo taj niz sa $(a_{n})$, tj. $a_{1},a_{2},a_{3}...$ Kako se svaki realan broj može napisati u obliku decimalnog broja (beskonačnog decimalnog razlomka), koji može završavati i beskonačnim brojem nula, to je niz:

$a_{1}=0,a_{11}a_{12}a_{13}...a_{1n}...$

$a_{2}=0,a_{21}a_{22}a_{23}...a_{2n}...$

$a_{3}=0,a_{31}a_{32}a_{33}...a_{3n}...$

...

$a_{m}=0,a_{m1}a_{m2}a_{m3}...a_{mn}...$

...

gde je $a_{kj}$ jedna od cifara 0, 1, 2, ..., 9. Formirajmo sada realan broj $b=0,b_{1}b_{2}b_{3}...b_{n}...,$ gde su decimalne cifre $b_{n}$ takođe celi brojevi od 0 do 9, i koji je očigledno iz istog intervala (0,1). Po pretpostavci, ma kako mu birali cifre, ovaj broj bi svaki put morao biti jedan od brojeva iz niza $(a_{n})$. Međutim, biraćemo cifre broja $b$ tako da je $b_{n}=1,$ ako je $a_{nn}=0$ i $b_{n}=0,$ ako $a_{nn}\neq 0.$ Pogledajmo šta smo dobili. Dobili smo broj b koji nije jednak nijednom broju niza a, jer se od svakog (npr. k-tog u nizu) razlikuje bar u jednoj cifri (k-toj). To je kontradikcija sa pretpostavkom da su u datom nizu svi realni brojevi intervala (0,1). Kraj dokaza.

Kardinalni broj skupa realnih brojeva naziva se kontinuum i označava sa s i $\aleph _{0}<c$. Pretpostavka da između alef nula i kontinuuma nema drugih kardinalnih brojeva poznata je kao hipoteza kontinuuma. Nakon Kantora, bilo je pokušaja da se ona dokaže, ili ospori, ali bez uspeha, sve do Gedela (Gödel) i Kohena (Cohen), koji su dokazali da je ona nezavisna od prethodne teorije skupova, te da se ona može prihvatiti kao aksioma, ili jednako odbaciti. Ako prihvatimo hipotezu kontinuuma, onda umesto s možemo koristiti oznaku alef jedan, tj. $\aleph _{1}.$

Primeri

Rekli smo da su dva skupa ekvivalentna ako se između njih može uspostaviti bijekcija, biunivoka korespondecnija, odnosno obostrano jednoznačno preslikavanje. Ako su skupovi ekvivalentni onda imaju isti kardinalni broj, tj. broj elemenata. Ako skup ima jednako elemenata kao skup prirodnih brojeva, onda za taj skup kažemo da je prebrojiv i da mu je kardinalni broj alef nula, tj. $\aleph _{0}$.

Primer 1

Skup prirodnih brojeva ekvivalentan je skupu parnih brojeva.

Jer niz 2, 4, 6, ..., 2n, ... možemo preslikati na niz 1, 2, 3, ..., n, ... bijektivno.

Primer 2

Svaki deo prebrojivog skupa je konačan ili prebrojiv.

Objašnjenje

Neka je A prebrojiv skup. Članovi skupa A mogu se poredati u niz $A_{1},A_{2},A_{3}...$. Neka je $B\subseteq A$ i neka su $b_{1},b_{2}...$ oni elementi niza A koji su ujedno elementi niza B. Ako među ovima ne postoji najveći elemenat skup B je konačan, u suprotnom on je prebrojiv.

Primer 3

(a) Skup tačaka u ravni $(\mathbb {Q} ^{2}=\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} )$ čije su koordinate racionalni brojevi je prebrojiv;

(b) Skup tačaka u k-dimenzionalnom prostoru $(\mathbb {Q} ^{k})$ je prebrojiv.

Primer 4

Svaki beskonačan skup sadrži jedan prebrojiv podskup.

Objašnjenje

Neka je A beskonačan skup i neka je njegov elemenat $a_{1}\in A.$ Tada, jer je A beskonačan, postoji prebrojiv niz elemenata $a_{2}\neq a_{1};a_{3}\neq a_{1},a_{2};...$

Međutim, među beskonačnim brojevima, kardinalima, poredak nije nešto što se podrazumeva po sebi.

Primer 5

(Kantor-Bernštajnova teorema) Ako je skup A ekvivalentan jednom delu skupa B, i ako je obratno, skup B ekvivalentan jednom delu skupa A, tada su skupovi A i B ekvivalentni.

Literatura

• Maddox, Randall B. (2002). Mathematical Thinking and Writing: A Transition to Abstract Mathematics. Academic Press. ISBN 978-0-12-464976-7. 
• O'Flaherty, Wendy Doniger (1986). Dreams, Illusion, and Other Realities. University of Chicago Press. str. 243. ISBN 9780226618555. Arhivirano iz originala na datum 29. 6. 2016.. 
• Toker, Leona (1989). Nabokov: The Mystery of Literary Structures. Cornell University Press. str. 159. ISBN 9780801422119. Arhivirano iz originala na datum 09. 05. 2016.. 
• Weyl, Hermann (2012). Pesic, Peter. ur. Levels of Infinity / Selected Writings on Mathematics and Philosophy. Dover. str. 17. ISBN 978-0-486-48903-2. 
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. str. 616. ISBN 978-0-691-11880-2. Arhivirano iz originala na datum 03. 06. 2016..  Extract of pp. 616 Arhivirano 1 May 2016 na Wayback Machine-u

Povezano

• Beskonačno
• Rekurzija
• Beskonačna petlja

Vanjske veze

• A Crash Course in the Mathematics of Infinite Sets Arhivirano 2010-02-27 na Wayback Machine-u
• Infinite Reflections Arhivirano 2009-11-05 na Wayback Machine-u
• John J. O'Connor and Edmund F. Robertson (2000). 'Jaina mathematics' Arhivirano 2008-12-20 na Wayback Machine-u, MacTutor History of Mathematics archive.