Furijeov red

Furijeov red je matematička operacija kojom se periodična funkcija razlaže na svoje „spektralne komponente“ radi jednostavnije analize. Nekoliko prvih članova takvog razvoja se u tehnici često uzimaju kao veoma korisna vrsta aproksimacije.

Diskretna furijeova transformacija pretvara diskretne vrednosti (vektor) u Furijeove koeficijente. Neprekidna furijeova transformacija radi to isto sa funkcijom. Naziv je dobila po francuskom matematičaru Žozefu Furijeu (1768—1830).

Matematička osnova

Uzmimo neku periodičnu funkciju $f(t)\,$ sa periodom T, za koju važi $f(t+T)=f(t)\,$. Zbog periodičnosti možemo da je razdelimo na N sinus i kosinus funkcija:

$f(t)=A_{0}+A_{1}\cos(\omega t+\varphi _{1})+A_{2}\cos(2\omega t+\varphi _{2})+\ldots +A_{N}\cos(N\omega t+\varphi _{N})=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n}).$, $\omega :=2\cdot \pi \cdot freq$, gde je $freq$ osnovna frekvencija, odnosno harmonik.

Treba imati na umu da je sinus samo kosinus sa faznim pomerajem:

$f(t)=\sum _{n=0}^{N}A_{n}\cos(n\omega t+\varphi _{n})=A_{0}+\sum _{n=1}^{N}(A_{n}\cos \varphi _{n}\cdot \cos(n\omega t)-A_{n}\sin \varphi _{n}\cdot \sin(n\omega t))$

Kada definišemo $a_{0}:=A_{0}\,$, a potom $a_{n}:=A_{n}\cos \varphi _{n}$ i $b_{n}:=A_{n}\sin \varphi _{n}$ dobijamo isti izraz, ovog puta bez faze:

$f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}(a_{n}\cos(n\omega t)-b_{n}\sin(n\omega t)).$

Zašto se ne uzima tan ili recimo cosh? Zašto baš cos i sin? Razlog je ortogonalnost sin i cos funkcija. $cos(t)\cdot sin(t)=\int _{0}^{2\pi }cos(t)\cdot sin(t){d}t=0$

Ideja iza furijeove transformacije je sledeća: ceo prostor koji ima „normalne“ ose transformišemo u prostor u kome su nove ortogonalne ose kosinus i sinus talasi i njihovi viši harmonici. Signal koji transformišemo je samo jedna tačka (mesni vektor), a vrednosti na svakoj osi su amplitude svakog harmonika pojedinačno ($[A_{0},\ldots ,A_{N}]$).

Sada se uključuje Ojlerov identitet uz pomoć koga ove trigonometrijske funkcije možemo da zamenimo kompleksnim pandanima:

$\cos(x)={\frac {1}{2}}\left(e^{\mathrm {i} x}+e^{-\mathrm {i} x}\right)$ i $\sin(x)={\frac {1}{2\mathrm {i} }}\left(e^{\mathrm {i} x}-e^{-\mathrm {i} x}\right)$

Iz toga dalje sledi

$f(t)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}+e^{-\mathrm {i} n\omega t})-{1 \over \mathrm {i} }b_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}-e^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)$

$=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left(a_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}+e^{-\mathrm {i} n\omega t})+\mathrm {i} b_{n}(e^{\mathrm {i} n\omega t}-e^{-\mathrm {i} n\omega t})\right)$

$=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\left((a_{n}+\mathrm {i} b_{n})e^{\mathrm {i} n\omega t}+(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})e^{-\mathrm {i} n\omega t}\right)$

Zamenimo realne koeficijente kompleksnim:

$c_{0}:=a_{0}\,$, $c_{n}:={\frac {1}{2}}(a_{n}+\mathrm {i} b_{n})$ i $c_{-n}:={\frac {1}{2}}(a_{n}-\mathrm {i} b_{n})={\overline {c_{n}}}$

dobijamo sumu sa negativnim indeksima:

$f(t)=\sum _{k=-N}^{N}c_{k}e^{\mathrm {i} k\omega t}$

Takođe, ne treba gubiti iz vida da su $e^{\mathrm {i} jt}$ funkcije isto ortonormalne baze (svaki vektor koji predstavlja osu ima dužinu 1 i normalan je u odnosu na sve ostale vektore):

U slučaju $j=k$

$(e^{\mathrm {i} jt},e^{\mathrm {i} jt})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}{\overline {e^{\mathrm {i} jt}}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}e^{-\mathrm {i} jt}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }1dt=1$

A za $j\neq k$ važi:

$(e^{\mathrm {i} jt},e^{\mathrm {i} kt})={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}{\overline {e^{\mathrm {i} kt}}}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} jt}e^{-\mathrm {i} kt}dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{\mathrm {i} (j-k)t}$

$={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\left[e^{\mathrm {i} (j-k)t}\right]_{0}^{2\pi }={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\left(e^{\mathrm {i} (j-k)2\pi }-1\right)=$

$={\frac {1}{2\pi \mathrm {i} (j-k)}}\cdot 0=0$

Furijeovi redovi

No, želimo sada da neku periodičnu i neprekidnu funkciju približno izračunamo uz pomoć sume trigonometrijskih funkcija (konkretno: kosinusa i sinusa). Videli smo kako možemo da dođemo do $c_{j}$; gornju jednačinu množimo sa $e^{-\mathrm {i} m\omega t}$ i naposletku integrišemo sa obe strane po intervalu [0,T] odnosno u trajanju jedne periode:

$e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\left(e^{\mathrm {i} (n\omega t)}e^{-\mathrm {i} m\omega t}\right)=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}e^{\mathrm {i} (n+m)\omega t-\mathrm {i} m\omega t}=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}e^{\mathrm {i} n\omega t}$

$\Leftrightarrow \int _{0}^{T}e^{-\mathrm {i} m\omega t}f(t)dt=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt$

Za integrale sa desne strane važi:

kada je n=0: $\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} 0\omega t}dt=\int _{0}^{T}e^{0}=\left[1\right]_{0}^{T}=T$

a kada je n≠0: $\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt=\left[{\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}e^{\mathrm {i} n\omega t}\right]_{0}^{T}$ $={\frac {1}{\mathrm {i} n\omega }}(e^{\mathrm {i} n\omega T}-1)$

Iz $\omega T=2\pi$ sledi $e^{\mathrm {i} n\omega T}=(e^{2\pi \mathrm {i} })^{n}=1$, a to dalje možemo da primenimo na gore navedeni integral:

$\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt=0$

Na kraju se cela računica uprošćava:

$\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt=\sum _{n=-N-m}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt$

$=\sum _{n=-N-m}^{-1}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt+c_{m}\cdot \int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} 0\omega t}dt+\sum _{n=1}^{N-m}c_{n+m}\int _{0}^{T}e^{\mathrm {i} n\omega t}dt$

$=0+c_{m}T+0=c_{m}T=\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt$

$\Leftrightarrow c_{m}={\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} m\omega t}dt.$

U celom računu neka nas ne zbunjuje korišćenje promenljive $m$, njena svrha je puko uprošćavanje jednačine. Sve je stoga samo dosetljivost, odnosno umetnost kako napisati jedno te isto na drugačiji način.

Na kraju, Furijeov red definišemo:

$f_{N}(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{in\omega t}$

Konvergentnost Furijeovog reda

Furijeov red konvergira ka mnogim funkcijama; tu spadaju pored ostalih sve funkcije koje imaju izvod ili su kvadratno integrabilne (L² prostor).

Pretpostavimo da je $f(t)$ jedna takva funkcija. Kada namestimo $N\rightarrow \infty$, onda ona takođe može da se napiše i ovako:

$f(t)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{\mathrm {i} n\omega t}=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{T}}(\int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt)\cdot e^{\mathrm {i} n\omega t}=\sum _{n=-N}^{N}{\frac {e^{\mathrm {i} n\omega t}}{T}}\cdot \int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt$

$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {e^{\mathrm {i} n\omega t}}{T}}\cdot \int _{0}^{T}f(t)e^{-\mathrm {i} n\omega t}dt$

Povezano

• Dualnost po Pontrjaginu

Literatura

• William E. Boyce and Richard C. DiPrima (2005). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (8th izd.). New Jersey: John Wiley & Sons, Inc.. ISBN 978-0-471-43338-5. 
• Joseph Fourier, translated by Alexander Freeman (published 1822, translated 1878, re-released 2003). The Analytical Theory of Heat. Dover Publications. ISBN 978-0-486-49531-6.  2003 unabridged republication of the 1878 English translation by Alexander Freeman of Fourier's work Théorie Analytique de la Chaleur, originally published in 1822.
• Enrique A. Gonzalez-Velasco (1992). „Connections in Mathematical Analysis: The Case of Fourier Series”. American Mathematical Monthly 99 (5): 427-441. DOI:10.2307/2325087. 
• Katznelson, Yitzhak (1976). An introduction to harmonic analysis (Second corrected izd.). New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-63331-2. 
• Felix Klein, Development of mathematics in the 19th century. Mathsci Press Brookline, Mass, 1979. Translated by M. Ackerman from Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19 Jahrhundert, Springer, Berlin, 1928.
• Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis (3rd izd.). New York: McGraw-Hill, Inc.. ISBN 978-0-07-054235-8. 
• A. Zygmund (2002). Trigonometric series (third izd.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89053-3.  The first edition was published in 1935.