Sferni koordinatni sistem

U matematici, sferni koordinatni sistem je koordinatni sistem za predstavljanje tela u tri dimenzije korišćenjem tri koordinate: udaljenost tačke od fiksirane nulte tačke koordinatnog sistema, zenit, ugao koji prava koja spaja tačku sa koordinatnim početkom zaklapa sa pozitivnim delom z-ose, i azimut, ugao iste prave sa pozitivnim delom x-ose.

Tačka nacrtana pomoću sfernog koordinatnog sistema

Notacija

Postoji nekoliko različitih konvencija za predstavljanje ove tri koordinate. U Sjedinjenim Državama se koordinate obično označavaju sa (ρ, φ, θ) za radijalnu distancu, zenit i azimut. U drugim krajevima sveta su zenit i azimut zamenjeni, i koordinate su (ρ, θ, φ). Prvi način ima prednost da je sličniji dvodimenzionom polarnom koordinatnom sistemu i trodimenzionom cilindričnom koordinatnom sistemu, a drugi način je geografski rašireniji. Druge notacije koriste r za radijalnu razdaljinu. Pre korišćenja formula i jednačina iz neke literature, uvek je neophodno proveriti koju je notaciju koristio autor. Ovaj članak koristi američku notaciju.

Definicija

Tri koordinate (ρ, φ, θ) su definisane kao:

• ρ ≥ 0 je razdaljina od nulte tačke do date tačke P.
• 0 ≤ φ ≤ 180° ugao koji zaklapa pozitivni deo z-ose sa pravom koja prolazi kroz nultu tačku i P.
• 0 ≤ θ ≤ 360° je ugao koji zaklapa pozitivni deo x-ose sa pravom koja prolazi kroz nultu tačku i tačku P projektovanu na xy-ravan.

φ se naziva zenitom, a θ se naziva azimutom.

φ i θ nisu od značaja kada je ρ = 0 a θ nije od značaja kada je sin(φ) = 0 (u φ = 0 i φ = 180°).

Kako bi se nacrtala tačka ako su poznate njene sferne koordinate, potrebno je preći ρ jedinica od početka koordinatnog početka duž pozitivnog dela z-ose, zarotirati za ugao φ oko y-ose u pravcu pozitivne x-ose, i zarotirati za ugao θ oko z-ose u pravcu pozitivne y-ose.

Konverzije koordinatnih sistema

Sferni koordinatni sistem je samo jedan od mnogih trodimenzionih koordinatnih sistema, tako da postoje jednačine za konverziju iz sfernih koordinata i ostalih, i obratno.

Pravougli koordinatni sistem

Tri sferne koordinate se iz pravouglih koordinata dobijaju na sledeći način:

${\rho }={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

${\phi }=\arccos \left({\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\right)$

${\theta }=\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)$

Obratno, pravougle koordinate se iz sfernih dobijaju ovim jednačinama:

${x}=\rho \,\sin \phi \,\cos \theta \quad$

${y}=\rho \,\sin \phi \,\sin \theta \quad$

${z}=\rho \,\cos \phi \quad$

Geografski koordinatni sistem

Geografski koordinatni sistem je alternativna verzija sfernog koordinatnog sistema, koja se uglavnom koristi u geografiji mada ima primene i u matematici i fizici. U geografiji, ρ se obično izostavlja ili se umesto ove vrednosti koristi nadmorska visina.

Širina ${\delta }\,$ je komplement zenita, i može se dobiti kao:

${\delta }=90^{\circ }-\phi$, ili

${\phi }=90^{\circ }-\delta$,

mada se širina obično predstavlja i sa φ. Ovo predstavlja ugao koji počinje od xy-ravni, sa domenom -90° ≤ φ ≤ 90°. Dužina se meri u stepenima istočno ili zapadno od 0°, pa je njen domen -180° ≤ θ ≤ 180°.

Cilindrični koordinatni sistem

Cilindrični koordinatni sistem je trodimenziono proširenje polarnog koordinatnog sistema, h koordinatom koja opisuje visinu iznad ili ispod xy-ravni. Tri koordinate su (r, θ, h).

Sferne koordinate se mogu pretvoriti u cilindrične koordinate jednačinama:

${\rho }={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}$

${\theta }=\theta \quad$

${\phi }=\arctan {\frac {r}{h}}$

Cilindrične koordinate se mogu pretvoriti u sferne sledećim jednačinama:

$r=\rho \sin \phi \,$

$\theta =\theta \,$

$h=\rho \cos \phi \,$

Primene

Geografski koordinatni sistem primenjuje dva ugla sfernog koordinatnog sistema kako bi izrazio lokacije na Zemlji, nazivajući ih geografskom širinom i geografskom dužinom. Kao što je dvodimenzioni pravougaoni koordinatni sistem koristan u ravni, dvodimenzioni koordinatni sistem je koristan na površini sfere. U ovakvom sistemu, sfera je uzeta kao jedinična sfera, pa se njen poluprečnik obično može ignorisati. Ovo pojednostavljenje može biti veoma korisno kada se radi sa objektima kao što je matrica rotacije.

Sferni koordinatni sistem ima naročitu primenu u sfernoj astronomiji, gde se projekcijama nebeskih tela na nebesku sferu dodeljuju koordinate zavisno od koordinatnog sistema koji se koristi (Horizontski koordinatni sistem, Ekvatorski koordinatni sistem)

Sferne koordinate su korisne za analiziranje sistema koji su simetrični u odnosu na tačku; sfera koja u pravouglom sistemu ima jednačniu x² + y² + z² = c² u sfernim koordinatama ima vrlo jednostavnu jednačinu: ρ = c. Primer je rešavanje trojnog integrala čiji domen je sfera.

Sferne koordinate su prirodne koordinate za opisivanje i analiziranje fizičkih situacija gde postoji sferna simetrija, kao što je polje potencijalne energije koje okružuje sferu (ili tačku) koja ima masu ili naelektrisanje.

Još jedna primena je ergonomski dizajn, gde je ${\rho }$ dužina ruke mirujuće osobe, a uglovi opisuju pravac u kome su ispružene ruke.

Koncept sfernih koordinata se može proširiti u višedimenzione prostore, i koordinate se tada nazivaju hipersfernim koordinatama.

Povezano

• Pravougli koordinatni sistem
• Cilindrični koordinatni sistem
• Sfera
• Hipersfera