Entropia

Toto je článok o fyzikálnej veličine. O entropii z hľadiska teórie informácií pozri Entropia (teória informácií).

Entropia je fyzikálna veličina, ktorá meria neusporiadanosť (náhodnosť, neporiadok, mieru neurčitosti) systému. Je jednou zo stavových veličín v termodynamike, no zavádza sa (všeobecnejšie) i v štatistickej fyzike. Jej jednotkou je J/K (Joule na kelvin). Prvýkrát ju použil (v termodynamickom zmysle) Rudolf Clausius v roku 1850, prvýkrát ju však osobitne popísal a pomenoval až v roku 1865.

Jeden z najdôležitejších zákonov termodynamiky, druhá veta termodynamická, hovorí, že entropia izolovanej sústavy s časom rastie. Keď teda dáme do pohára s horúcim čajom studenú lyžičku, entropia je menšia než po istom čase, kedy sa teploty vyrovnajú. Toto si môžeme vysvetliť tým, že vnútorná energia na začiatku prevažne sústredená v horúcom čaji sa neskôr rozdelila rovnomernejšie (a teda neusporiadanejšie) medzi čajom a lyžičku. No a čím vyššia je neusporiadanosť, tým je vyššia entropia.

Entropia v termodynamike

Ak pri vratnom deji v termodynamickom systéme dodáme teplo $\Delta Q$ pri teplote $T$, zmena entropie sústavy sa vypočíta pomocou vzťahu

$\Delta S={\frac {\Delta Q}{T}}.$

Ak sa pri deji mení teplota sústavy, musíme celkovú zmenu entropie počítať ako súčet zmien na jednotlivých častiach, kde je teplota konštantná. Ak sa teplota mení po celý čas, musíme sčítavanie nahradiť integrálom a dostaneme

$\Delta S=\int _{1}^{2}{\frac {\delta Q}{T}},$

pričom integrujeme zo začiatočného stavu 1 do koncového stavu 2. Pod integrálom nevystupuje diferenciál (dQ) ako zvyčajne. Toto je zvýraznenie skutočnosti, že teplo Q nie je stavová veličina (ak by ňou bolo, mohli by sme oprávnene napísať dQ).

Perpetuum mobile druhého druhu

Priemyselná revolúcia by nebola možná bez tzv. tepelných strojov - zariadení, ktoré teplo vzniknuté napríklad spaľovaním uhlia premieňajú na užitočnú prácu. Dôležité je však to, že žiaden tepelný stroj nemôže zobrať všetko teplo a bezo zvyšku ho premeniť na takúto užitočnú prácu. Takéto zariadenie by sme nazývali perpetuum mobile (druhého druhu - tento prídavok pochádza z toho, že takéto zariadenie by porušovalo druhú vetu termodynamickú; perpetuum mobile prvého druhu porušuje prvú vetu termodynamickú - zákon zachovania energie - tým, že koná prácu bez dodávania energie z vonku). Matematicky sa dá toto tvrdenie formulovať tak, že keď sústava zníži svoju vnútornú energiu o $\Delta E$, aby mohla vykonať prácu a tým zníži aj svoju entropiu o $\Delta S$, potom aspoň časť $T_{0}\Delta S$ z odobratej vnútornej energie musí byť premenená na neužitočné teplo odovzdané okoliu ($T_{0}$ je teplota okolia).

Entropia v štatistickej fyzike

Boltzmannov náhrobok vo Viedni. Vzťah pre entropiu je vytesaný pod jeho horným okrajom.

Štatistická fyzika sa zaoberá štúdiom sústav s veľkým počtom častíc - príkladom môže byť ideálny plyn, ktorého počet častíc v bežnej miestnosti sa pohybuje v rádoch $10^{27}$, čo je obrovské číslo. Ak by sme chceli použiť na skúmanie takéhoto systému Newtonov zákon $F=ma$ (ktorý prirodzene pre pohyb molekúl platí), nikdy by sme sa k výsledku nedostali. Jednak je rovníc príliš veľa (rádovo toľko ako molekúl) a navyše nepoznáme polohy a rýchlosti jednotlivých molekúl a je nemožné ich experimentálne zistiť. Preto je dôležitý prístup štatistickej fyziky, ktorá nás učí, že pri skúmaní ideálneho plynu nie sú dôležité polohy a rýchlosti všetkých molekúl (mikrostav), ale iba niekoľko málo fyzikálnych veličín (tlak, teplota, objem, počet častíc... teda makrostav). Preto hovoríme "v nádobe je plyn pod tlakom 10 atmosfér" a nezaujímajú nás detaily, ako to tie molekuly robia, ako si medzi sebou rozdelili rýchlosti tak, aby nami nameranú hodnotu tlaku skutočne dosiahli.

Entropia sa potom v štatistickej fyzike meria na základe toho, koľko voľnosti ostane systému potom, čo zadáme tieto tzv. makroskopické veličiny. Matematicky povedané, ak sa sústava môže nachádzať v $\Omega$ rôznych stavoch (pri daných hodnotách makroskopických veličín), jej entropia sa vypočíta ako

$S=k\,\ln \Omega .$

Tu k je známa Boltzmannova konštanta vystupujúca aj v stavovej rovnici ($k=1,38\cdot 10^{-23}\mathrm {J/K}$). Tento vzťah pre entropiu odvodil v roku 1877 Ludwig Boltzmann, jeden zo zakladateľov štatistickej fyziky. Bol naň taký hrdý, že si ho dokonca nechal vytesať na náhrobok. Pre úplnosť treba dodať aj to, že Boltzmann spáchal v roku 1906 samovraždu. Dôvody nie sú jasné, svoju úlohu však mohlo zohrať odmietnutie jeho práce veľkou časťou fyzikálnej komunity.

Ešte všeobecnejší vzťah pre entropiu získame, ak jednotlivým stavom priradíme rôzne pravdepodobnosti. Potom má entropia sústavy tvar

$S=-k\sum _{i}p_{i}\,\ln p_{i},$

kde $p_{i}$ je pravdepodobnosť i-teho (mikro)stavu. Tomuto vzťahu sa tiež niekedy hovorí informačná entropia, alebo Gibbsov vzťah pre entropiu. Ak sú všetky stavy rovnako pravdepodobné a ich počet je $\Omega$, potom $p_{i}=1/\Omega$ a dosadením takýchto pravdepodobností do tohto vzorca dostaneme už spomínaný Boltzmannov vzťah.

Pozri aj

Fyzikálny portál Chemický portál

• Extropia