Lineárne zobrazenie

Lineárne zobrazenie (alebo tiež lineárny operátor) je abstraktný jav v algebre, ktorý možno chápať v istom zmysle ako funkciu. Lineárne zobrazenie priraďuje vektoru (vzoru) z vektorového priestoru, nový vektor (obraz) z iného resp. rovnakého vektorového priestoru. Každé lineárne zobrazenie možno určiť maticou zobrazenia. Pod pojmom lineárne zobrazenie sa však nechápe len zobrazovanie vektorov, reprezentujúcich súradnice v priestore, ale aj zobrazovanie mnohých iných abstraktných vektorov, napríklad polynómov. Príkladom jednoduchšieho lineárneho zobrazenia môže byť také, ktoré ku každému vektoru priradí jeho dvojnásobok. Oveľa abstraktnejším lineárnym zobrazením je také, ktoré k polynómu priradí jeho deriváciu. Pre názornú predstavu však pomáha obmedzenie na vektorové priestory $\mathbb {R} ^{2}$ prípadne $\mathbb {R} ^{3}$.

Definícia

Nech $N,M$ sú vektorové priestory nad telesom $K$. Zobrazenie $\varphi :N\to M$ sa nazýva lineárne zobrazenie, ak je splnené nasledovné:

${\begin{array}{ll}({\textrm {i}})&\varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )\\({\textrm {ii}})&\varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )\end{array}}$

Príklad

Zobrazenie $\omega :\mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\mathbf {x} \longrightarrow \mathbf {x} +k;\;k\geq 1$ nie je lineárne. Dôkaz sa dá urobiť priamo z definície lineárneho zobrazenia. Treba dokázať rovnosť (i)
$\omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\mathbf {x} +\mathbf {y} +k$
$\omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )=(\mathbf {x} +k)+(\mathbf {y} +k)=\mathbf {x} +\mathbf {y} +2k$

Tu ale neplatí $\omega (\mathbf {x} +\mathbf {y} )\neq \omega (\mathbf {x} )+\omega (\mathbf {y} )$, pretože $\mathbf {x} +\mathbf {y} +k\neq \mathbf {x} +\mathbf {y} +2k$. Dokazovať vlastnosť (ii) už nie je potrebné, keďže dané zobrazenie nie je lineárne.

Matica lineárneho zobrazenia

Lineárne zobrazenie môže byť reprezentované aj určitou maticou. Potom ak $\varphi$ je lineárne zobrazenie, možno ho prepísať

$\varphi (\mathbf {x} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {x} ;\;\mathbf {A} =\Vert a_{ij}\Vert _{m,n}$

Vektor $\mathbf {x}$ je chápaný ako matica $\mathbf {x} =\Vert x_{i}\Vert _{m,1}$. Tieto matice môžeme násobiť, lebo počet stĺpcov matice $\mathbf {A}$ je zhodný s počtom riadkov matice (vektoru) $\mathbf {x}$. Výsledkom lineárneho zobrazenia (súčinu matíc) bude vektor typu $m,1$. Maticu lineárneho zobrazenia je možné nájsť pomocou vlastnosti

$\varphi (e_{k})=\mathbf {A} \cdot e_{k}=a_{k}$

kde vektor $e_{k}$ je k-ty jednotkový vektor a $a_{k}$ je obraz k-teho jednotkového vektora, čo je vlastne k-ty stĺpec matice zobrazenia.

Príklad

Nájdime maticu $\mathbf {A}$ lineárneho zobrazenia $\varphi$, ktoré ku každému vektoru $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{2}$ priradí jeho $\lambda$-násobok. Najprv sa treba presvedčiť, že dané zobrazenie skutočne spĺňa vlastnosti lineárneho zobrazenia. Podobne ako v prvom príklade treba dokázať rovnosť (i).

$\varphi (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda (\mathbf {x} +\mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y}$
$\varphi (\mathbf {x} )+\varphi (\mathbf {y} )=(\lambda \cdot \mathbf {x} )+(\lambda \cdot \mathbf {y} )=\lambda \cdot \mathbf {x} +\lambda \cdot \mathbf {y}$

Rovnosť teda platí. Teraz treba ešte dokázať vlastnosť (ii). Jednoduchým výpočtom

$\varphi (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\lambda (\alpha \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x}$
$\alpha \cdot \varphi (\mathbf {x} )=\alpha (\lambda \cdot \mathbf {x} )=\alpha \cdot \lambda \cdot \mathbf {x}$

Po dokázaní vlastností lineárneho zobrazenia, môžeme hľadať maticu. Stačí zistiť kam sa zobrazia vektory $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}$ ortonormálnej bázy priestoru $\mathbb {R} ^{2}$, keďže ide o normované jednotkové vektory. Zo zadania je zrejmé, že vektor sa zobrazí na svoj $\lambda$-násobok, teda

$\mathbf {e} _{1}=\left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)\;{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\;\lambda \cdot \left({\begin{array}{c}1\\0\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}\lambda \\0\end{array}}\right)$
$\mathbf {e} _{2}=\left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)\;{\stackrel {\varphi }{\longrightarrow }}\;\lambda \cdot \left({\begin{array}{c}0\\1\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}0\\\lambda \end{array}}\right)$

Matica tohto lineárneho zobrazenia je

$\mathbf {A} =\left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)_{2\times 2}$

Súčinom tejto matice a ľubovoľného vektora priestoru $\mathbb {R} ^{2}$ dostaneme požadovaný násobok zobrazovaného vektora. V tomto prípade je vzorom ľubovoľný vektor a jeho obraz podľa zobrazenia $\varphi$ je jeho $\lambda$-násobok. Zobrazenia sa potom dá prepísať nasledovným spôsobom

$\left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)\cdot \left({\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\end{array}}\right)=\varphi (\mathbf {x} )$

Príklady matíc ďalších lineárnych zobrazení

Zobrazenie	Matica zobrazenia
$\lambda$-násobok vektora	$\left({\begin{array}{cc}\lambda &0\\0&\lambda \end{array}}\right)$
rotácia roviny o uhol $\gamma$	$\left({\begin{array}{cc}\cos \gamma &-\sin \gamma \\\sin \gamma &\cos \gamma \end{array}}\right)$
osová súmernosť podľa osi x	$\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right)$
osová súmernosť podľa osi y	$\left({\begin{array}{cc}-1&0\\0&1\end{array}}\right)$
kolmá projekcia na os x	$\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right)$

Základná veta o lineárnych zobrazeniach

Nech $\alpha _{1},...,\alpha _{m}$ je ľubovolná báza vektorového priestoru $V(F)$ a nech $\beta _{1},...,\beta _{m}$ sú ľubovolné vektory priestoru $W(F)$. Potom existuje práve jedno lineárne zobrazenie $\varphi :V(F)\to W(F)$ pre ktoré platí: $\varphi (\alpha _{1})=\beta _{1}$ , $\varphi (\alpha _{2})=\beta _{2}$ , ... , $\varphi (\alpha _{m})=\beta _{m}$

Literatúra

• Chalmovianský. P: Geometria afinných zobrazení euklidovských priestorov. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2010, s. 2-5
• Zlatoš. P: Lineárna algebra a geometria. Bratislava, Univerzita Komenského v Bratislave. 2011, s. 122-134