Moment hybnosti

Moment hybnosti telesa je fyzikálna veličina vyjadrujúca mieru jeho rotačného pohybu vzhľadom na daný vzťažný bod. Jednotkou momentu hybnosti je $\mathrm {kg\,m} ^{2}\mathrm {s} ^{-1}=\mathrm {J\,s}$.

Moment hybnosti v klasickej mechanike

Ilustrácia k výpočtu momentu hybnosti hmotného bodu

Základnou je definícia momentu hybnosti hmotného bodu. Pri použití označenia z obrázka vpravo je moment hybnosti $L$ vzhľadom na vzťažný bod O daný vzťahom

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} .$

Tu r je polohový vektor hmotného bodu vzhľadom na vzťažný bod O a p je jeho hybnosť mv. Znakom $\times$ označujeme takzvaný vektorový súčin dvoch vektorov.

Ak sa zaujímame iba o veľkosť momentu hybnosti, nepotrebujeme jeho zápis pomocou vektorového súčinu, stačí použiť vzťah

$|\mathbf {L} |=pr_{k}=mvr_{k}.$

Tu zase $r_{k}$ je takzvaná kolmá vzdialenosť (pozri obrázok).

Moment hybnosti komplikovanejších telies

Ak je teleso zložené z väčšieho množstva hmotných bodov, jeho moment hybnosti sa vypočíta ako súčet momentu hybnosti každého z týchto hmotných bodov zvlášť (na tento nám stačia hore uvedené vzorce). Ak je však hmota telesa rozložená spojito (príkladom môže byť otáčajúce sa koleso auta), takýmto delením získame "nekonečný" počet hmotných bodov. Matematicky povedané, namiesto sčítania jednotlivých príspevkov musíme integrovať. Aby sme sa tejto komplikácii vyhli, pri výpočte momentu hybnosti takýchto telies je vhodné použiť vzťah

$|\mathbf {L} |=I\omega ,$

v ktorom $\omega$ je uhlová rýchlosť otáčania sa telesa okolo danej osi a I je jeho moment zotrvačnosti vzhľadom na túto os. Moment zotrvačnosti vzhľadom na danú os je pre každé teleso konštantou. Na tomto spôsobe výpočtu je výhodné to, že tieto konštanty za nás už dávno vyrátali iní ľudia. Tu uvedieme len niektoré z nich.

• Moment zotrvačnosti gule s hmotnosťou m a polomerom r je $I={\begin{matrix}{\frac {2}{5}}\end{matrix}}mr^{2}$.
• Moment zotrvačnosti tenkej obruče s hmotnosťou m a polomerom r vzhľadom na os kolmú na rovinu obruče a prechádzajúcu jej stredom je $I={\begin{matrix}\,\end{matrix}}mr^{2}$.
• Moment zotrvačnosti tenkej obruče s hmotnosťou m a polomerom r vzhľadom na os ležiacu v rovine obruče a prechádzajúcu jej stredom je $I={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}mr^{2}$.
• Moment zotrvačnosti tenkej tyče s hmotnosťou m a dĺžkou l vzhľadom na os prechádzajúcu jej stredom kolmo na tyč je $I={\begin{matrix}{\frac {1}{12}}\end{matrix}}ml^{2}$.
• Moment zotrvačnosti tenkej tyče s hmotnosťou m a dĺžkou l vzhľadom na os prechádzajúcu jej koncom kolmo na tyč je $I={\begin{matrix}{\frac {1}{3}}\end{matrix}}ml^{2}$.

Zákon zachovania

Podobne ako v prípade energie a hybnosti, aj moment hybnosti sústavy sa môže zachovávať. Deje sa tak vtedy, keď na sústavu nepôsobia vonkajšie sily nejakým momentom, resp. keď sa momenty pôsobiacich vonkajších síl navzájom vyrušia. Matematicky to môžeme formulovať vzťahom

${\frac {\Delta \mathbf {L} }{\Delta t}}=\mathbf {M} .$

Tu M je súčet momentov vonkajších síl pôsobiacich na sústavu (resp. na teleso), $\Delta \mathbf {L}$ je zmena momentu hybnosti za čas $\Delta t$.

Z pohľadu teórie je dôležitým fakt, že zákon zachovania momentu hybnosti je daný izotrópnosťou skúmanej sústavy (pod izotrópnosťou rozumieme fakt, že mechanické vlastnosti sústavy sa nezmenia pri jej ľubovoľnom otočení ako celku).

Moment hybnosti v kvantovej mechanike

V kvantovej mechanike priraďujeme fyzikálnym veličinám ich operátory (tie značíme strieškou nad písmenom). Keďže polohe r je priradený jednoduchý operátor ${\hat {r}}=r$ a hybnosti zase operátor ${\hat {p}}=-i\hbar \nabla$, momentu hybnosti na základe jeho vyjadrenia v klasickej mechanike priraďujeme operátor

${\hat {\mathbf {L} }}={\hat {\mathbf {r} }}\times {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla ).$

Spin

Okrem momentu hybnosti sa v kvantovej mechanike stretávame aj s takzvaným vlastným momentnom hybnosti, ktorým sa vyznačujú elementárne častice. Ide o fyzikálnu veličinu, ktorú nepoznáme z bežného sveta veľkých predmetov okolo nás a preto je pre nás ťažké mať o nej nejakú názornú predstavu. Časté vysvetlenie „spin = otáčanie sa elementárnej častice okolo osi“ je nesprávne.

Spin elementárnych častíc meriame v násobkoch Planckovej konštanty. Tieto násobky sú pritom celočíselné alebo tzv. poločíselné (teda postupne 0, 1/2, 1, 3/2, 2…). Najbežnejšie elementárne častice – elektróny, protóny a neutróny majú spin rovný 1/2-násobku Planckovej konštanty.

Fyzikálny portál