Bellova nerovnosť

Bellova nerovnosť je nerovnosť, ktorú spĺňajú určité spinové korelácie v lokálne realistických teóriách. Je dielom írskeho fyzika J. S. Bella. Má tvar:

$n(\alpha _{+}\beta _{+})\leq n(\alpha _{+}\gamma _{+})+n(\beta _{+}\gamma _{+})$.

Pozrime sa bližšie na jej odvodenie. Nech $N(+++)$ je počet častíc v našom teste s hodnotami $\alpha _{+}$, $\beta _{+}$, $\gamma _{+}$ (a obdobne pre ďalšie kombinácie orientácií). Nech $N(\alpha _{+}\beta _{+})$ označuje počet častíc s $\alpha _{+}$, $\beta _{+}$ a s neurčenou hodnotou $\gamma$ (a podobne). Potom platí

$N(\alpha _{+}\beta _{-})=N(+-+)+N(+--),N(\alpha _{+}\gamma _{-})=N(++-)+N(+--),N(\beta _{-}\gamma _{+})=N(+-+)+N(--+)$.

Pretože všetky $N$ sú nezáporné (ide o počty prípadov), musí platiť

$N(\alpha _{+}\beta _{-})\leq N(\alpha _{+}\gamma _{-})+N(\beta _{-}\gamma _{+})$.

Ak si uvedomíme, že pokiaľ má jedna z častíc $\alpha _{+}$, musí mať druhá častica z páru $\alpha _{-}$ atď. Veličiny $n$ sú úmerné súčtom dvojíc $N$:

${\frac {n(\alpha _{+}\beta _{+})}{N(\alpha _{+}\beta _{-})+N(\alpha _{-}\beta _{+})}}={\frac {n(\alpha _{+}\gamma _{+})}{N(\alpha _{+}\gamma _{-})+N(\alpha _{-}\gamma _{+})}}={\frac {n(\beta _{+}\gamma _{+})}{N(\beta _{+}\gamma _{-})+N(\beta _{-}\gamma _{+})}}$.

Potom zo zmienenej nerovnosti

$N(\alpha _{+}\beta _{-})\leq N(\alpha _{+}\gamma _{-})+N(\beta _{-}\gamma _{+})$

a z podobnej nerovnosti so zamenenými symbolmi + a – vyplýva napokon vzťah pre Bellovu nerovnosť:

$n(\alpha _{+}\beta _{+})\leq n(\alpha _{+}\gamma _{+})+n(\beta _{+}\gamma _{+})$.