D’Alembertovo kritérium

D'Alembertovo kritérium je kritérium konvergencie nekonečného radu po prvýkrát publikované Jeanom le Rondom d'Alembertom. Je špeciálnym prípadom tzv. Raabeho kritéria.

Znenie kritéria

Nech $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ je nekonečný rad a nech existuje limita $L:=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|.$

Potom:

• Ak L < 1, tak rad je absolútne konvergentný.
• Ak L > 1, tak rad nie je konvergentný.
• Ak L = 1, tak D'Alembertovho kritérium nie je použiteľné na vyšetrenie konvergencie.

V prípade, že limita $\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$ neexistuje, možno použiť nasledovné zovšeobecnenie kritéria:

• Ak $\lim {\textrm {sup}}\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|<1$, tak je rad absolútne konvergentný.
• Ak pre nekonečne veľa n platí nerovnosť $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|>1$, rad diverguje.
• Ak neplatí ani jedna z predchádzajúcich možností, kritérium nie je použiteľné.

Zdroje

• Neubrunn, T., Vencko, J: Matematická analýza II. Univerzita Komenského, 1992.
• Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Ratio test na anglickej Wikipédii.