Grupa (matematika)

Grupa je jednou zo základných algebraických štruktúr. V sekcii „Definícia“ možno nájsť formálnu definíciu grupy. Sekcia „Základné vysvetlenie“ podáva informácie o motivácii k štúdiu grúp aj pre laika.

Základné vysvetlenie

Všimnime si napríklad množinu všetkých celých čísel, teda čísel ako sú -10, -4, 0, 1, 2, 65, atď. Na tejto množine je definovaná operácia sčítanie. Zaoberajme sa ďalej len operáciou sčítanie a množinou celých čísiel. Všimnime si pre štandardné sčítanie niekoľko vlastností:

1. Sčítanie je na celých číslach asociatívna operácia. Teda napríklad platí, že 3 + (5 + 7) = (3 + 5) + 7. Poloha zátvoriek teda pre asociatívne operácie, ako napríklad „bežné“ sčítanie nie je dôležitá.
2. Ďalej pre operáciu sčítanie a celé čísla platí, že vzhľadom na danú operáciu existuje neutrálny prvok, ktorým je pri „bežnom sčítaní“ číslo 0. Inak povedané, neutrálny prvok je prvok, pre ktorý platí: x + 0 = x = 0 + x, teda neutrálny prvok „nezmení hodnotu“ pôvodného čísla.
3. Ku každému celému číslu existuje opačné číslo. Napríklad opačné číslo k číslu 689 je pre bežné sčítanie, ktorým sa zaoberáme, číslo -689. Pre číslo(označme ho x) a k nemu opačné číslo(označme ho y) platí: x + y = neutrálny prvok. Teda, ak číslo sčítame s opačným číslom, dostávame neutrálny prvok (v tomto prípade 0).
   Poznámka: y sa v algebre, aby bolo jasné ku ktorému číslu to je opačné číslo zvykne označovať značkou x^-1. Neoznačujeme tým však bežnú operáciu mocnina.

Tieto 3 vlastnosti, teda asociatívnosť, existencia neutrálneho prvku a inverzných prvkov sú v matematike veľmi časté. Preto je užitočné študovať ich spoločné vlastnosti a vzťahy s inými štruktúrami. Pre podobné dvojice množín a operácií sa prijal spoločný názov grupa.

Základné príklady

• Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti spĺňajú.
• Množina {... 1/625, 1/125, 1/25, 1/5, 1, 5, 25, 125, 625, ...} a operácia násobenia tieto vlastnosti spĺňajú (číslo 1 je neutrálny prvok a napríklad k číslu 125 existuje opačné číslo: 1/125).
• Množina {... ,-12, -9, -6, -3, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje neutrálny prvok.
• Množina {... ,-12, -9, -6, 0, 3, 6, 9, 12, ...} a operácia sčítania tieto vlastnosti nespĺňajú, pretože neexistuje opačné číslo k číslu 3.

Definícia

Nasledujúca definícia formalizuje závery zo sekcie „Základné vysvetlenie“

Grupa (G, $\circ$) je usporiadaná dvojica, kde G je neprázdna množina a $\circ$ je binárna operácia na tejto množine, pričom

• operácia $\circ$ je na G asociatívna, t. j. $\forall a,b,c\in G:a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c$,
• existuje tzv. neutrálny prvok $e\in G$ s vlastnosťou $\forall a\in G:a\circ e=a=e\circ a$,
• ku každému prvku $a\in G$ existuje inverzný prvok $b\in G$ taký, že $a\circ b=e=b\circ a$.

Ak je binárna operácia $\circ$ navyše komutatívna, tak hovoríme o komutatívnej alebo abelovskej grupe.

Ďalšie vlastnosti

• V grupe platia zákony o krátení:

$\forall a,b,c\in G:a\circ b=a\circ c\Rightarrow b=c$

$\forall a,b,c\in G:a\circ c=b\circ c\Rightarrow a=b$

• V grupe majú riešenie všetky rovnice typu

$a\circ x=b$

$y\circ a=b$

pre všetky $a,b\in G$

Podgrupy

Grupa $(H,\ast )$ sa nazýva podgrupou grupy $(G,\circ )$, ak $H$ je podmnožinou $G$ a platí $\forall a,b\in H:a\ast b=a\circ b$.

Neprázdna podmnožina H grupy $(G,\circ )$ tvorí podgrupu, ak je uzavretá na binárnu operáciu a aj na tvorbu inverzných prvkov, t.j.

• Pre ľubovoľné $a,b\in H$ platí $a\circ b\in H$.
• Pre ľubovoľné $a\in H$ platí $a^{-1}\in H$.

Ak H je konečná množina, tak stačí uzavretosť na binárnu operáciu.

Ďalšie príklady

• množina celých čísel $\mathbb {Z}$ s klasickou operáciou sčítania + tvorí grupu $(\mathbb {Z} ,+)$, ktorú nazývame aj aditívna grupa celých čísel,
• množina racionálnych čísel okrem čísla 0 s operáciou násobenia $\cdot$ tvorí grupu $(\mathbb {Q} \setminus \{0\},\cdot )$, ktorej sa hovorí aj multiplikatívna grupa racionálnych čísel,
• všeobecnejšie, pre ľubovoľné pole F je množina $F\setminus \{0\}$ s operáciou násobenia grupou. (Je to multiplikatívna grupa poľa F.)
• dôležitou triedou grúp sú predovšetkým v informatike v teórii šifrovania tzv. grupy zvyškových tried $\mathbb {Z} _{n}$ s operáciou $\oplus$ a $\mathbb {Z} _{n}\setminus \{0\}$ s operáciou $\otimes$ (ak n je prvočíslo),
• ústrednú úlohu pri štúdiu grúp hrá grupa všetkých bijekcií nejakej množiny na tú istú množinu s operáciou skladania zobrazení označovaná ako grupa transformácií a jej špeciálne varianty grupa permutácií a alternujúca grupa (Cayleyho veta vraví, že každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií),
• všetky binárne bijektívne funkcie (zobrazenia) n prvkovej množiny s operáciou skladania permutácií vytvárajú grupu, ktorá sa nazýva symetrická grupa rádu n! (n faktoriál)

Externé odkazy

• Teória grúp

Literatúra

• DUMMIT, Richard M.; FOOTE, David S.. Abstract algebra. 3. vyd. Bratislava : John Wiley and Sons, Inc., 2004.
• KATRIŇÁK, Tibor; GAVALEC, Martin; GEDEONOVÁ, Eva; SMÍTAL, Jaroslav. Algebra a teoretická aritmetika (1). Bratislava : Alfa, 1985.