Teória grúp

Teória grúp je matematická disciplína, časť abstraktnej algebry, ktorá sa zaoberá štúdiom grúp. Jej výsledky sa využívajú vo viacerých oblastiach matematiky, ale aj vo fyzike, informatike, či chémii.

História

Teória grúp sa začala rozvíjať koncom 18. storočia a začiatkom 19. storočia v dôsledku rozvoja teórie algebraických rovníc, teórie čísel a geometrie. Medzi prvých matematikov, ktorí sa touto oblasťou výskumu zaoberali, patrili Leonhard Euler, Joseph Louis Lagrange, Carl Friedrich Gauss, Niels Henrik Abel a Évariste Galois.

S modernou definíciou grupy prišiel ako prvý Walther von Dyck v roku 1882.

Grupa

Základným pojmom teórie grúp je grupa. Je definovaná ako usporiadaná dvojica $(\mathbb {G} ,\cdot )$, kde $\mathbb {G}$ je množina a $\cdot$ je binárna operácia na $\mathbb {G}$ spĺňajúca nasledujúce tri vlastnosti:

• Je asociatívna, t. j. $(\forall f,g,h\in \mathbb {G} )f\cdot (g\cdot h)=(f\cdot g)\cdot h$
• V $\mathbb {G}$ vzhľadom na ňu existuje neutrálny prvok, t. j. $(\exists e)(\forall g)\quad g\cdot e=e\cdot g=g$
• Pre každý prvok grupy existuje vzhľadom na ňu inverzný prvok, t. j. $(\forall g)(\exists h)\quad g\cdot h=h\cdot g=e$

Zdroj

Tento článok je čiastočný alebo úplný preklad článku Teorie grup na českej Wikipédii.