Poténčna vŕsta (ene spremenljivke) je v matematiki neskončna vrsta oblike:
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
a
)
n
=
a
0
+
a
1
(
x
−
a
)
+
a
2
(
x
−
a
)
2
+
a
3
(
x
−
a
)
3
+
⋯
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(x-a\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-a)+a_{2}(x-a)^{2}+a_{3}(x-a)^{3}+\cdots }
kjer je an koeficient n -tega člena, a konstanta in x neodvisna spremenljivka okrog a . Vrsta po navadi nastane kot Taylorjeva vrsta kakšne znane funkcije .
V mnogih primerih je a enaka nič, na primer pri Maclaurinovi vrsti . Tedaj ima potenčna vrsta preprostejšo obliko:
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
x
n
=
a
0
+
a
1
x
+
a
2
x
2
+
a
3
x
3
+
⋯
.
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+\cdots \!\,.}
uredi
uredi
Elementarne funkcije
uredi
Vsak polinom se lahko razvije v potenčno vrsto okrog poljubne točke a , čeprav je točka največkrat kar 0. Polinom
f
(
x
)
=
x
2
+
2
x
+
3
{\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3}
a = 0 kot:
f
(
x
)
=
3
+
2
x
+
1
x
2
+
0
x
3
+
0
x
4
+
⋯
{\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \!\,}
ali okrog središča
a
=
1
{\displaystyle a=1}
f
(
x
)
=
6
+
4
(
x
−
1
)
+
1
(
x
−
1
)
2
+
0
(
x
−
1
)
3
+
0
(
x
−
1
)
4
+
⋯
{\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \!\,}
ali v resnici okrog poljubnega središča a . Na potenčne vrste se lahko gleda kot na »polinome neskončne stopnje«, čeprav potenčne vrste niso polinomi.
Geometrična vrsta :
1
1
−
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
=
1
+
x
+
x
2
+
x
3
+
⋯
,
|
x
|
∈
(
−
∞
,
1
]
,
{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,,}
je eden najpomembnejših zgledov potenčnih vrst. Enako je pomembna tudi eksponentna funkcija :
e
x
=
∑
n
=
0
∞
x
n
n
!
=
1
+
x
1
!
+
x
2
2
!
+
x
3
3
!
+
⋯
,
|
x
|
∈
(
−
∞
,
∞
)
.
{\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,\infty )\!\,.}
Te potenčne vrste so tudi zgledi Taylorjevih vrst . Obstajajo potenčne vrste, ki niso Taylorjeve vrste nobene funkcije. Na primer:
∑
n
=
0
∞
n
!
x
n
=
1
+
1
!
x
+
2
!
x
2
+
3
!
x
3
+
⋯
,
x
≠
0
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }n!x^{n}=1+1!x+2!x^{2}+3!x^{3}+\cdots ,\qquad x\neq 0\!\,.}
Negativne potence v potenčnih vrstah ne nastopajo. Vrsta
1
+
x
−
1
+
x
−
2
+
⋯
{\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }
Laurentova vrsta . Podobno ne nastopajo potence z ulomki kot je
x
1
/
2
{\displaystyle x^{1/2}}
Puiseuxove vrste . Koeficienti
a
n
{\displaystyle a_{n}}
x
{\displaystyle x}
sin
(
x
)
x
+
sin
(
2
x
)
x
2
+
sin
(
3
x
)
x
3
+
⋯
{\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \!\,}
Drugi zgledi znanih potenčnih vrst elementarnih funkcij so:
log
(
1
+
x
)
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
x
n
n
=
x
−
x
2
2
+
x
3
3
−
x
4
4
±
⋯
,
|
x
|
∈
(
−
∞
,
1
]
,
{\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\,x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,,}
log
(
1
−
x
)
=
∑
n
=
1
∞
x
n
n
=
−
[
x
+
x
2
2
+
x
3
3
+
x
4
4
+
⋯
]
,
|
x
|
∈
(
−
∞
,
1
]
,
{\displaystyle \log(1-x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-\left[x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \right],\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,,}
(
1
±
x
)
1
/
2
=
1
±
1
2
x
−
1
⋅
1
2
⋅
4
x
2
±
1
⋅
1
⋅
3
2
⋅
4
⋅
6
x
3
−
1
⋅
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
⋅
8
x
4
±
⋯
,
|
x
|
∈
(
−
∞
,
1
]
.
{\displaystyle (1\pm x)^{1/2}=1\pm {\frac {1}{2}}x-{\frac {1\cdot 1}{2\cdot 4}}x^{2}\pm {\frac {1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\frac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}\pm \cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,.}
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
x
7
7
!
+
.
.
.
+
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
±
.
.
.
,
|
x
|
∈
(
−
∞
,
∞
)
,
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+...+(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\pm ...,\qquad |x|\in (-\infty ,\infty ),}
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
x
6
6
!
+
.
.
.
+
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
±
.
.
.
,
|
x
|
∈
(
−
∞
,
∞
)
,
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+...+(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\pm ...,\qquad |x|\in (-\infty ,\infty ),}
t
g
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
.
.
.
+
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
(
2
n
)
!
B
n
x
2
n
−
1
+
.
.
.
,
|
x
|
∈
(
−
∞
,
π
2
)
.
{\displaystyle \mathrm {tg} \ x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+...+{\frac {2^{2n}\left(2^{2n}-1\right)}{(2n)!}}B_{n}x^{2n-1}+...,\qquad |x|\in (-\infty ,{\frac {\pi }{2}})\!\,.}
Neelementarne funkcije
uredi
S potenčnimi vrstami se lahko velikokrat lažje kot s Taylorjevimi vrstami razvije elementarne pa tudi neelementarne funkcije. Takšni zgledi so na primer eliptični integrali ali pa integral oblike:
∫
e
x
x
d
x
,
{\displaystyle \int {\frac {e^{x}}{x}}\mathrm {d} x\!\,,}
ki ni elementaren. Funkcijo
e
x
/
x
{\displaystyle e^{x}/x}
e
x
x
=
1
x
+
1
+
x
2
!
+
x
2
3
!
+
x
3
4
!
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {e^{x}}{x}}={\frac {1}{x}}+1+{\frac {x}{2!}}+{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{3}}{4!}}+\cdots \!\,.}
Funkcija je v vsakem intervalu brez točke x = 0 enakomerno konvergentna in se jo lahko integrira po členih:
∫
a
x
e
x
x
d
x
=
log
x
a
+
x
−
a
1
!
+
x
2
−
a
2
2
!
2
+
x
3
−
a
3
3
!
3
+
⋯
,
a
∈
[
0
,
x
]
.
{\displaystyle \int _{a}^{x}{\frac {e^{x}}{x}}\mathrm {d} x=\log {\frac {x}{a}}+{\frac {x-a}{1!}}+{\frac {x^{2}-a^{2}}{2!2}}+{\frac {x^{3}-a^{3}}{3!3}}+\cdots ,a\in [0,x]\!\,.}
uredi
Potenčne vrste lahko konvergirajo za nekatere vrednosti spremenljivke x (vsaj za x = a ) ali pa divergirajo za druge vrednosti. Vedno obstaja takšno število r , 0 ≤ r ≤ ∞, da bo vrsta za |x − a | < r konvergirala in divergirala za |x − a | > r . Število r (tudi označbi R ali
ρ
{\displaystyle \rho }
konvergenčni polmer potenčne vrste. V splošnem je določen kot:
r
=
lim inf
n
→
∞
|
a
n
|
−
1
n
,
{\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}\!\,,}
oziroma enakovredno (Cauchy-Hadamardova enačba):
r
−
1
=
lim sup
n
→
∞
|
a
n
|
1
n
{\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}\!\,}
(glej največja in najmanjša limita ). Če limita obstaja, se jo lahko izračuna kot:
r
−
1
=
lim
n
→
∞
|
a
n
+
1
a
n
|
.
{\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|\!\,.}
Glede konvergence potenčne vrste lahko nastopijo tri možnosti:
|
x
−
a
|
>
r
{\displaystyle |x-a|>r}
divergira ,
|
x
−
a
|
=
r
{\displaystyle |x-a|=r}
Abelov izrek trdi, da je vsota vrste zvezna v x , če vrsta konvergira v x .
uredi
uredi
Kadar sta funkciji f in g razviti v potenčni vrsti okrog istega središča a , se lahko dobi vsoto ali razliko funkcij s seštevanjem ali odštevanjem po členih. Vsota funkcij, razvitih v potenčni vrsti:
f
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\!\,}
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
a
)
n
,
{\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}\!\,,}
je enaka:
f
(
x
)
±
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
(
a
n
±
b
n
)
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(x-a)^{n}\!\,}
uredi
Podobno je produkt in kvocient dveh funkcij, razvitih kot zgoraj:
f
(
x
)
g
(
x
)
=
[
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
a
)
n
]
[
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
a
)
n
]
=
∑
i
=
0
∞
∑
j
=
0
∞
a
i
b
j
(
x
−
a
)
i
+
j
{\displaystyle f(x)g(x)=\left[\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\right]\left[\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-a)^{i+j}\!\,}
f
(
x
)
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
[
∑
i
=
0
n
a
i
b
n
−
i
]
(
x
−
a
)
n
.
{\displaystyle f(x)g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right](x-a)^{n}\!\,.}
Zaporedje
m
n
:=
∑
i
=
0
n
a
i
b
n
−
i
{\displaystyle m_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}
konvolucija zaporedja
a
n
{\displaystyle a_{n}}
b
n
{\displaystyle b_{n}}
Za kvocient je:
f
(
x
)
g
(
x
)
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
a
)
n
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
a
)
n
=
∑
n
=
0
∞
d
n
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n} \over \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-a)^{n}\!\,}
f
(
x
)
=
[
∑
n
=
0
∞
b
n
(
x
−
a
)
n
]
[
∑
n
=
0
∞
d
n
(
x
−
a
)
n
]
{\displaystyle f(x)=\left[\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}\right]\left[\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-a)^{n}\right]\!\,}
in se uporabi produkt z upoštevanjem koeficientov.
Odvajanje in integriranje
uredi
Kadar je funkcija podana kot potenčna vrsta, je zvezna , če konvergira, in odvedljiva v notranjosti te množice. Lahko se jo brez težav odvaja ali integrira po členih:
f
′
(
x
)
=
∑
n
=
1
∞
a
n
n
(
x
−
a
)
n
−
1
{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n\left(x-a\right)^{n-1}\!\,}
∫
f
(
x
)
d
x
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
x
−
a
)
n
+
1
n
+
1
+
C
{\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}\left(x-a\right)^{n+1}}{n+1}}+C\!\,}
Obe tako nastali vrsti imata enak konvergenčni polmer kot izvirna vrsta.
![{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a427ab187f61cbc675802565537a565b28e55ff)
![{\displaystyle \log(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\,x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}\pm \cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef703147d701b3c24b14436c3ef531cd9b6dcbaa)
![{\displaystyle \log(1-x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-\left[x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots \right],\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a55500bd2cd87931694955125109bfd0ab7622e8)
![{\displaystyle (1\pm x)^{1/2}=1\pm {\frac {1}{2}}x-{\frac {1\cdot 1}{2\cdot 4}}x^{2}\pm {\frac {1\cdot 1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}x^{3}-{\frac {1\cdot 1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}x^{4}\pm \cdots ,\qquad |x|\in (-\infty ,1]\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78d98501bea985bf810ba571fbb9df4cfc814325)
![{\displaystyle \int _{a}^{x}{\frac {e^{x}}{x}}\mathrm {d} x=\log {\frac {x}{a}}+{\frac {x-a}{1!}}+{\frac {x^{2}-a^{2}}{2!2}}+{\frac {x^{3}-a^{3}}{3!3}}+\cdots ,a\in [0,x]\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e89cb95ba7709eaedf07453c21de17e532de6ac9)
![{\displaystyle f(x)g(x)=\left[\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-a)^{n}\right]\left[\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}\right]=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-a)^{i+j}\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/330220c51d4495126a793964fe9ca2b633abaef8)
^{n}\!\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf2d73b88f578c2e8f990cf7390122f27eb66d7)
![{\displaystyle f(x)=\left[\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-a)^{n}\right]\left[\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-a)^{n}\right]\!\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51996e5db8cb44f476b13321f80c934bb2e19dc)
