Superelipsa

Superelipsa (tudi Laméjeva krivulja) je ravninska družina krivulj, ki imajo v kartezičnem koordinatnem sistemu enačbo:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1\!\,,

kjer so:

$n,{\text{ }}a,{\text{ }}b$ pozitivna števila

Zgornji obrazec določa zaprto krivuljo v pravokotniku v mejah $-a\leq x\leq +a$ in $-b\leq x\leq +b$ . Parametra $a\,$ in $b\,$ se imenujeta polosi krivulje.

V parametrična oblika je:^[1]

x=\cos ^{2/m}t\!\,

y=\sin ^{2/m}t\!\,,

kjer je $r>2$ .

Oblika krivulje je odvisna od parametra $n\,$ :

če je $n\,$ med 0 in 1, superelipsa izgleda kot štirikraka zvezda, ki ima vbočene stranice.
če je $n=1/2\,$ so stranice parabole
če je $n=1$ ima superelipsa obliko romba z oglišči v točkah (±a, 0) in (0, ±b)
če je $n\,$ med 1 in 2 izgleda kot romb, ki ima izbočene stranice
če je $n=2\,$ je krivulja običajna elipsa oziroma krožnica, če je $a=b\,$
če je $n>2\,$ izgleda kot pravokotnik z zaobljenimi vogali
če je $n<2\,$ krivuljo imenujemo hipoelipsa
če je $n>2\,$ krivuljo imenujemo hiperelipsa
točke ekstrema so v točkah $(\pm a,{\text{ }}0$ in $(0,{\text{ }}\pm b$ ).

Posplošitve

Zgled posplošene superelipse z m ≠ n.

Superelipso lahko opišemo s splošno obliko:

\left|{\frac {x}{a}}\right|^{m}+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}=1;\qquad m,n>0\!\,.

ali z:

{\begin{aligned}x\left(\theta \right)&={|\cos \theta |}^{\frac {2}{m}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos \theta )\\y\left(\theta \right)&={|\sin \theta |}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin \theta ).\end{aligned}}\!\,.

Povezave z drugimi krivuljami

astroida je superelipsa z $n=2/3$ in $a=b$
astroida je hipocikloida s štirimi vrhovi
- deltoida je hipocikloida s tremi vrhovi
krožno zaobljeni kvadrat (štiristrano kolo) je superelipsa z $n=4$
- Reulauxov trikotnik (tristrano kolo)
superoblika je posplošitev superelipse
superkvadrik je trirazsežna oblika superelipse.