Trigonometrija

Beseda trigonometríja izhaja iz grških besed trigonon - trikotnik + metria - merjenje. Ta veja matematike se je razvila iz preučevanja trikotnika in odnosov med njegovimi stranicami in koti. K razvoju trigonometrije sta veliko pripomogla astronomija in delitev kroga na 360°. Pri Egipčanih je razvoj trigonometrije potekal vzporedno z gradnjo piramid.

V sredini 15. stoletja je nemški astronom in matematik Regiomontan objavil vse dotedanje znanje trigonometrije, kar je vplivalo na razvoj te veje po vsej Evropi. Razvoj trigonometrije je povezan s tehničnim razvojem.

Osnova trigonometrije so kotne ali trigonometrične funkcije.

Osnovni problem trigonometrije je razreševanje trikotnika - to pomeni računanje velikosti kotov in dolžin daljic (stranic, višin, težiščnic ipd.) v trikotniku. Najpomembnejša pravila, ki jih pri tem uporabljamo v evklidski geometriji, so:

• izrek o vsoti notranjih kotov trikotnika:

$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }\!\,$

• sinusni izrek:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\!\,$

• kosinusni izrek

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \!\,$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \!\,$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \!\,$

Trigonometrična razmerja

V tem pravokotnem trikotniku: sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b.

Trigonometrična razmerja so razmerja med robovi pravokotnega trikotnika. Ta razmerja so podana z naslednjimi trigonometričnimi funkcijami znanega kota A, kjer se a, b in c nanašajo na dolžine stranic na priloženi sliki:

• Sinusna funkcija (sin) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.

$\sin A={\frac {\textrm {nasprotnakateta}}{\textrm {hipotenuza}}}={\frac {a}{c}}.$

• Kosinusna funkcija (cos) je definirana kot razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.

$\cos A={\frac {\textrm {prileznakateta}}{\textrm {hipotenuza}}}={\frac {b}{c}}.$

• Tangentna funkcija (tan) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.

$\tan A={\frac {\textrm {nasprotnakateta}}{\textrm {prileznakateta}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/c}{b/c}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.$

Recipročne vrednosti teh funkcij se imenujejo kosekans (csc), sekans (sec) in kotangens (cot):

$\csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hipotenuza}}{\textrm {nasprotnakateta}}}={\frac {c}{a}},$

$\sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hipotenuza}}{\textrm {prileznakateta}}}={\frac {c}{b}},$

$\cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {prileznakateta}}{\textrm {nasprotnakateta}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.$

Enotski krog in trigonometrične vrednosti

Slika 1a – Sinus in kosinus kota θ določena z enotsko krožnico.

Trigonometrična razmerja je mogoče predstaviti tudi z uporabo enotskega kroga, ki ima središče v izhodišču koordinatnega sistema in polmer 1. Od pozitivnega poltraka abscisne osi odmerimo premični poltrak kota A. Točko, kjer premični poltrak seka kotomerno krožnico, označimo s točko (x,y), kjer $x=\cos A$ in $y=\sin A$. Ta predstavitev omogoča izračun trigonometričnih vrednosti, kot so na primer te v spodnji tabeli

Funkcija	0	$\pi /6$	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$	$2\pi /3$	$3\pi /4$	$5\pi /6$	$\pi$
sinus	$0$	$1/2$	${\sqrt {2}}/2$	${\sqrt {3}}/2$	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$
kosinus	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$	$-1/2$	$-{\sqrt {2}}/2$	$-{\sqrt {3}}/2$	$-1$
tangens	$0$	${\sqrt {3}}/3$	$1$	${\sqrt {3}}$	nedefinirano	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}/3$	$0$
sekans	$1$	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	nedefinirano	$-2$	$-{\sqrt {2}}$	$-2{\sqrt {3}}/3$	$-1$
kosekans	nedefinirano	$2$	${\sqrt {2}}$	$2{\sqrt {3}}/3$	$1$	$2{\sqrt {3}}/3$	${\sqrt {2}}$	$2$	nedefinirano
kotangens	nedefinirano	${\sqrt {3}}$	$1$	${\sqrt {3}}/3$	$0$	$-{\sqrt {3}}/3$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$	nedefinirano

Trigonometrične funkcije realnih ali kompleksnih spremenljivk

Z uporabo enotskega kroga lahko razširimo definicije trigonometričnih razmerij na vse pozitivne in negativne argumente (glej trigonometrična funkcija).

Grafi trigonometričnih funkcij

Naslednja tabela povzema lastnosti grafov šestih glavnih trigonometričnih funkcij:

Funkcija	Obdobje	domena	Razpon	Graf
sinus	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
kosinus	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
tangens	$\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,\infty )$
sekans	$2\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
kosekans	$2\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$
kotangens	$\pi$	$x\neq n\pi$	$(-\infty ,\infty )$

Inverzne trigonometrične funkcije

Ker je šest glavnih trigonometričnih funkcij periodičnih, niso injektivne in zato niso inverzibilne. Z omejevanjem definicijskega območja trigonometrične funkcije, lahko postanejo inverzibilne.

Imena inverznih trigonometričnih funkcij, skupaj z njihovimi domenami in obsegom, najdete v naslednji tabeli:

Ime	Običajni zapis	Definicija	Definicijsko območje x za realni rezultat	Razpon glavne vrednosti (radiani)	Razpon glavne vrednosti (stopinje)
Arkus sinus	y = arcsin(x)	x = sin(y)	−1 ≤ x ≤ 1	−⁠π/2⁠ ≤ y ≤⁠π/2⁠	−90° ≤ y ≤ 90°
Arkus kosinus	y = arccos(x)	x = cos(y)	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
Arkus tangens	y = arctan(x)	x = tan(y)	vsa realna števila	−⁠π/2⁠ < y <⁠π/2⁠	−90° < y < 90°
Arkus kotangens	y = arccot(x)	x = cot(y)	vsa realna števila	0 < y < π	0° < y < 180°
Arkus sekans	y = arcsec(x)	x = sec(y)	x ≤ −1 ali 1 ≤ x	0 ≤ y <⁠π/2⁠ oz⁠π/2⁠ < y ≤ π	0° ≤ y < 90° ali 90° < y ≤ 180°
Arkus kosekans	y = arccsc(x)	x = csc(y)	x ≤ −1 ali 1 ≤ x	−⁠π/2⁠ ≤ y < 0 ali 0 < y ≤⁠π/2⁠	−90° ≤ y < 0° ali 0° < y ≤ 90°