Trilinearni koordinatni sistem

Trilinearni koordinatni sistem opisuje lege točk glede na dani trikotnik. Trilinearne koordinate opisujejo relativne razdalje od treh stranic trikotnika. Trilinearne koordinate spadajo med homogene koordinate. Običajno govorimo o trilinearnih koordinatah. Trilinearne koordinate so povezane s težiščnim koordinatnim sistemom.

Zgledi

Središče včrtanega kroga trikotnika ima trilinearne koordinate, ki jih označujemo kot 1 : 1 : 1. To so usmerjene razdalje od središča včrtanega kroga do posameznih stranic trikotnika. Te razdalje so proporcionalne pravim razdaljam. Označevanje x : y : z moramo ločiti od pravih razdalj, ki so enake (kx, ky, kz) in jih uporabljamo za označevanje urejene trojice . Pri tem je

$k={\frac {2\sigma }{ax+by+cz}}$

kjer je

• $a\,$ dolžina stranice BC
• $b\,$ dolžina stranice CA
• $a\,$ dolžina stranice BC
• $c\,$ dolžina stranice AB
• $\sigma \,$ površina trikotnika ABC

Trilinearne koordinate nekaterih točk v trikotniku:

• A = 1 : 0 : 0 (oglišče A)
• B = 0 : 1 : 0 (oglišče B)
• C = 0 : 0 : 1 (oglišče C)
• središče včrtane krožnice = 1 : 1 : 1
• težišče = bc : ca : ab = 1/a : 1/b : 17c
• središče očrtane krožnice = cos A : cos B : cos C
• višinska točka (ortocenter) = sec A : sec B : sec C
• Eulerjev krog (Feuerbacherjev krog ali krožnica devetih točk) = cos(B − C) : cos(C − A) : cos(A − B).
• simediana (Lemionova ali Grebejeva točka) = a : b : c = sin A : sin B : sin C

Trilinearne koordinate so lahko tudi negativne, v tem primeru leži točka zunaj trikotnika.

Zgledi z negativnimi trilinearnimi koordinatami

• središče tangentne krožnice nad stranico $a\,$ ima trilinearne koordinate enake -1 : 1 :1
• središče tangentne krožnice nad stranico $b\,$ 1 : -1 :1
• središče tangentne krožnice nad stranico $c\,$ 1 : 1 : -1

Uporaba

Trilinearne koordinate omogočajo uporabo mnogih metod v geometriji trikotnika. Primer: Imamo tri točke s trilinearnimi koordinatami

P = p : q : r

U = u : v : w

X = x : y : z

Te točke so kolinearne samo in samo, če je determinanta

$D={\begin{vmatrix}p&q&r\\u&v&w\\x&y&z\end{vmatrix}}$

enaka nič.

Zunanje povezave

• Encyclopedia of Triangle Centers – ETC (angleško)
• Trilinearne koordinate na MathWorld (angleško)
• Trilinearne koordinate na MathWorld (angleško)
• Trilinearne koordinate (angleško)
• Trilinearne koordinate (angleško)