Hilbertova krivulja

Hilbertova krivúlja [hílbertova ~] je zvezna fraktalna krivulja, ki zapolni prostor. Prvi jo je opisal David Hilbert leta 1891 kot varianto krivulj, ki zapolnijo prostor, ki jih je odkril Giuseppe Peano leta 1890.

Hilbertova krivulja prvega reda

Hilbertova krivulja prvega in drugega reda

Hilbertova krivulja prvega, drugega in tretjega reda

Hilbertova krivulja šestega reda

Njena Hausdorffova razsežnost je 2. Evklidska dolžina $H_{n}$ je $2^{n}-{1 \over 2^{n}}$, tj. narašča eksponentno z $n$.

Računalniški program

Spodnji Java applet nariše Hilbertovo krivuljo z rekurzivno metodo:




import java.awt.*;
import java.applet.*;

public class HilbertCurve extends Applet {
    private SimpleGraphics sg=null;
    private int dist0=512, dist=dist0;

    public void init() {
        sg = new SimpleGraphics(getGraphics());
        dist0 = 512;
        resize ( dist0, dist0 );
    }

    public void paint(Graphics g) {
        int level=4;
        dist=dist0;
        for (int i=level;i>0;i--) dist /= 2;
        sg.goToXY ( dist/2, dist/2 );
        HilbertA(level); // start recursion
    }

    private void HilbertA (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertB(level-1);    sg.lineRel(0,dist);
            HilbertA(level-1);    sg.lineRel(dist,0);
            HilbertA(level-1);    sg.lineRel(0,-dist);
            HilbertC(level-1);
        }
    }

    private void HilbertB (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertA(level-1);    sg.lineRel(dist,0);
            HilbertB(level-1);    sg.lineRel(0,dist);
            HilbertB(level-1);    sg.lineRel(-dist,0);
            HilbertD(level-1);
        }
    }

    private void HilbertC (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertD(level-1);    sg.lineRel(-dist,0);
            HilbertC(level-1);    sg.lineRel(0,-dist);
            HilbertC(level-1);    sg.lineRel(dist,0);
            HilbertA(level-1);
        }
    }

    private void HilbertD (int level) {
        if (level > 0) {
            HilbertC(level-1);    sg.lineRel(0,-dist);
            HilbertD(level-1);    sg.lineRel(-dist,0);
            HilbertD(level-1);    sg.lineRel(0,dist);
            HilbertB(level-1);
        }
    }
}

class SimpleGraphics {
    private Graphics g = null;
    private int x = 0, y = 0;    

    public SimpleGraphics(Graphics g) { this.g = g; }
    public void goToXY(int x, int y) { this.x = x;   this.y = y; }

    public void lineRel(int deltaX, int deltaY) {
        g.drawLine ( x, y, x+deltaX, y+deltaY );
        x += deltaX;    y += deltaY;
    }
}

Glej tudi

• krivulja Sierpińskega

Viri

• Hilber, David (1891). »Über die stetige Abbildung einer Linie auf ein Flächenstück«. Mathematische Annalen. Zv. 38. str. 459–460.
• Peano, Giuseppe (1890). »Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane«. Mathematische Annalen. Zv. 36. str. 157–160.