Laplaceova transformacija

Laplaceova transformácija [laplásova ~] je integralska transformacija, ki funkcijo iz časovnega prostora t preslika v frekvenčni prostor kompleksne spremenljivke s:

${\mathcal {L}}\left[f\left(t\right)\right]=F\left(s\right)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f\left(t\right)\;dt.$

Kot je razvidno iz te enačbe, se za čase t<0 predpostavi f(t)=0.

Laplaceova transformacija se imenuje v čast francoskega matematika, fizika in astronoma markiza Pierre-Simona de Laplacea, ki jo je razvil.

Transformacije nekaterih funkcij ter lastnosti Laplaceove transformacije so razvidne iz razpredelnice:

$f(t)$	$F(s)$
$a_{1}\cdot f_{1}\left(t\right)+a_{2}\cdot f_{2}\left(t\right)$	$a_{1}\cdot F_{1}\left(s\right)+a_{2}\cdot F_{2}\left(s\right)$
$\delta \left(t\right)$	$1$
$1$	${\frac {1}{s}}$
$t^{n},n\in {\mathcal {N}}$	${\frac {n!}{s^{n+1}}}$
$t^{\alpha },\alpha \in {\mathcal {R}},\alpha >0$	${\frac {\Gamma \left(\alpha +1\right)}{s^{\alpha +1}}}$
$e^{-at}$	${\frac {1}{s+a}}$
$t^{n}\cdot e^{-at}$	${\frac {n!}{\left(s+a\right)^{n+1}}}$
$\sin \,at$	${\frac {a}{\left(s^{2}+a^{2}\right)}}$
$\cos \,at$	${\frac {s}{\left(s^{2}+a^{2}\right)}}$
$\sin \left(at+\varphi \right)$	${\frac {s\cdot \sin \varphi +a\cdot \cos \varphi }{\left(s^{2}+a^{2}\right)}}$
$\sinh \,at$	${\frac {a}{\left(s^{2}-a^{2}\right)}}$
$\cosh \,at$	${\frac {s}{\left(s^{2}-a^{2}\right)}}$
$f\left(at\right)$	${\frac {1}{a}}F\left({\frac {s}{a}}\right)$
$f\left(t\right)e^{at}$	$F\left(s-a\right)$
$f\left(t-a\right)$	$F\left(s\right)e^{-as}$
$\int _{0}^{t}f\left(\tau \right)\!d\tau$	${\frac {F\left(s\right)}{s}}$
$\int _{0}^{t}f\left(t-\tau \right)g\left(\tau \right)\!d\tau$	$F\left(s\right)G\left(s\right)$
${\frac {df\left(t\right)}{dt}}$	$sF\left(s\right)-f\left(0\right)$
${\frac {d^{n}f\left(t\right)}{dt^{n}}}$	$s^{n}F\left(s\right)-s^{n-1}f\left(0\right)-s^{n-2}f'\left(0\right)-\ldots -sf^{(n-2)}\left(0\right)-f^{(n-1)}\left(0\right)$

Laplaceovo transformacijo periodične funkcije s periodo T lahko izračunamo tudi takole:

$F\left(s\right)=\int _{0}^{T}f\left(t\right)e^{-st}\!dt\cdot {\frac {1}{1-e^{-sT}}}.$

Inverzno Laplaceovo transformacijo lahko izračunamo z Bromwichevim integralom:

$f\left(t\right)={\mathcal {L}}^{-1}\left[F\left(s\right)\right]={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\infty }^{\gamma +i\infty }e^{st}F\left(s\right)\!ds.$

V praksi največkrat tako časovno kot kompleksno frekvenčno funkcijo razstavimo na elemente iz razpredelnice in Laplaceovo oz. inverzno Laplaceovo transformacijo izvedemo s pomočjo njunih lastnosti in funkcij iz te razpredelnice.

Kot lahko opazimo v razpredelnici, lahko z Laplaceovo transformacijo, pretvorimo diferencialne enačbe in enačbe s funkcijami, kot so transcedentne funkcije, v algebrske in racionalne enačbe v frekvenčnem prostoru, kjer jih je mnogo enostavneje rešiti in nato z inverzno Laplaceovo transformacijo pretvoriti nazaj v časovni prostor.

Laplaceova transformacija se precej uporablja v teoriji sistemov, saj nam računanje konvolucijskega integrala, ki se tam precej uporablja, pretvori v produkt dveh funkcij. Poleg tega Laplaceovi transformi prenosnih funkcij sistemov povedo marsikatero lastnost sistema (npr. stabilnost ipd.)