Schwarzev trikotnik

Schwarzev trikotnik je sferni trikotnik s pomočjo katerega se lahko tlakuje sfero.

Imenuje se po nemškem matematiku Hermanu Amandusu Schwarzu (1843–1921).

Schwarzev trikotnik se predstavi s tremi racionalnimi števili v obliki (p q r) kjer vsako število predstavlja kot v oglišču. Vrednost n/d pomeni, da je kot v oglišču n/d-ti del polovice kroga. Vrednost 2 pomeni pravi kot. Kadar števila niso ulomki, se trikotnik imenuje Möbiusov trikotnik, ki odgovarja neprikrivajočemu tlakovanju. Simetrijska grupa se imenuje trikotniška grupa.

Prostor rešitev

Osnovna domena trikotnika (p q r) lahko obstaja v različnih prostorih, kar je odvisno od omejitev:

$1/p+1/q+1/r>1$ : sferni

$1/p+1/q+1/r=1$ : evklidska ravnina

$1/p+1/q+1/r<1$ : hiperbolična ravnina

Grafični prikaz

Schwarzev trikotnik se lahko prikaže s trikotniškim grafom. Vsak vozel predstavlja rob Schwarzevega trikotnika. Vsak rob je označen z racionalnim številom, ki odgovarja zaporedju zrcaljenja, je enak π/kot ob oglišču

Schwarzev trikotnik (p q r) na sferi.

Graf Schwarzevega tikotnika

Robovi reda 2 predstavljajo pravokotna zrcala, ki se jih lahko izpusti na tej sliki. Coxeter-Dinkinov diagram prikazuje trikotniški graf z robovi reda 2, ki so prikriti.

Za Coxeterjevo grupo se lahko uporabi enostavnejši zapis kot je (p q r) za ciklični graf in (p q 2)=[p, q] (za prave kote) ter (p 2 2) = [p] x [].

Seznam Schwarzevih trikotnikov

Möbiusovi trikotniki na sferi

(2 2 2) ali [2,2]	(3 2 2) ali [3,2]	...
(3 3 2) ali [3,3]	(4 3 2) ali [4,3]	(5 3 2) ali [5,3]

Schwarzevi trikotniki za sfero po gostoti

V nadaljevanju so našteti Schwarzevi trikotniki razvrščeni po gostoti (politopski gostoti):

gostota	Schwarzev trikotnik
1	(2 3 3), (2 3 4), (2 3 5), (2 2 n)
d	(2 2 n/d)
2	(3/2 3 3), (3/2 4 4), (3/2 5 5), (5/2 3 3)
3	(2 3/2 3), (2 5/2 5)
4	(3 4/3 4), (3 5/3 5)
5	(2 3/2 3/2), (2 3/2 4)
6	(3/2 3/2 3/2), (5/2 5/2 5/2), (3/2 3 5), (5/4 5 5)
7	(2 3 4/3), (2 3 5/2)
8	(3/2 5/2 5)
9	(2 5/3 5)
10	(3 5/3 5/2), (3 5/4 5)
11	(2 3/2 4/3), (2 3/2 5)
13	(2 3 5/3)
14	(3/2 4/3 4/3), (3/2 5/2 5/2), (3 3 5/4)
16	(3 5/4 5/2)
17	(2 3/2 5/2)
18	(3/2 3 5/3), (5/3 5/3 5/2)
19	(2 3 5/4)
21	(2 5/4 5/2)
22	(3/2 3/2 5/2)
23	(2 3/2 5/3)
26	(3/2 5/3 5/3)
27	(2 5/4 5/3)
29	(2 3/2 5/4)
32	(3/2 5/45/3)
34	(3/2 3/2 5/4)
38	(3/2 5/4 5/4)
42	(5/4 5/4 5/4)

Trikotniki za evklidsko ravnino

(3 3 3)

(4 4 2)

(6 3 2)

Gostota 1:

1. (3 3 3) – 60-60-60 (enakostranični trikotnik)
2. (4 4 2) – 45-45-90 (enakokraki pravokotni trikotnik)
3. (6 3 2) – 30-60-90

Trikotniki po gostotah:

• gostota 0: (4 4/3 ∞), (3 3/2 ∞), (6 6/5 ∞)
• gostota 1: (4/3 4/3 2), (4/3 4 2), (6 3/2 2)
• gostota 2: (6/5 3 2), (6 6 3/2), (6 6/5 3)

Trikotniki za hiperbolično ravnino

(7 3 2)	(8 3 2)	(5 4 2)
(4 3 3)	(4 4 3)	(∞ ∞ ∞)
Fundamentalne domene triukotnikov (p q r)

Gostota 1:

• (2 3 7), (2 3 8), (2 3 9) ... (2 3 ∞)
• (2 4 5), (2 4 6), (2 4 7) ... (2 4 ∞)
• (2 5 5), (2 5 6), (2 5 7) ... (2 5 ∞)
• (2 6 6), (2 6 7), (2 6 8) ... (2 6 ∞)
• (3 3 4), (3 3 5), (3 3 6) ... (3 3 ∞)
• (3 4 4), (3 4 5), (3 4 6) ... (3 4 ∞)
• (3 5 5), (3 5 6), (3 5 7) ... (3 5 ∞)
• (3 6 6), (3 6 7), (3 6 8) ... (3 6 ∞)
• ...
• (∞ ∞ ∞)

Trikotnik (2 3 7) je najmanjši hiperbolični Schwarzev trikotnik.

Trikotnik (2 3 8) lahko tlakuje Bolzovo ploskev, ki je visoko simetrična ploskev z rodom enakim 2.

Glej tudi

• Wythoffov simbol
• Wythoffova konstrukcija
• uniformni polieder
• gostota politopa
• Goursatov tetraeder
• pravilno hiperbolično tlakovanje
• uniformno tlakovanje v hiperbolični ravnini

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Schwarz Triangle«. MathWorld.
• Schwarzev trikotnik na WolframAlpha (angleško)