Trigonométrične (trigonometríjske ) ali kótne fúnkcije so pomembne matematične funkcije . Ime kotne funkcije izhaja iz dejstva, da so rezultati odvisni od kota . Starejše ime za te funkcije je kotomerne ali goniometrične (grško starogrško γωνία : lonía – kot ) funkcije. Kotne funkcije so pomembne pri proučevanju trikotnikov in pri modeliranju periodičnih pojavov. Na njih sloni trigonometrija . Lahko jih določimo kot razmerja dveh stranic pravokotnega trikotnika, ki oklepata kot, ali še bolj splošno kot razmerja koordinat točk na enotskem trigonometričnem krogu , oziroma kot neskončne vrste .
Grafi trigonometričnih funkcij sinus, kosinus in tangens Obstaja šest osnovnih trigonometričnih funkcij: sinus, kosinus, tangens, kotangens, sekans in kosekans. Sekans in kosekans se v novejšem času opuščata.
Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku
uredi
Sinus (sin) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo .
Kosinus (cos) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.
Tangens (tg ali tan) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.
Kotangens (ctg ali cot) je v pravokotnem trikotniku razmerje med kotu priležno kateto in kotu nasprotno kateto.
Sekans (sec) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu priležno kateto. Velja:
sec
x
=
1
cos
x
{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}}
Kosekans (csc) je v pravokotnem trikotniku razmerje med hipotenuzo in kotu nasprotno kateto. Velja:
csc
x
=
1
sin
x
{\displaystyle \csc x={\frac {1}{\sin x}}}
Kotne funkcije v enotskem krogu
uredi
Trigonometrične funkcije v enotskem krogu Z enotskim krogom (OA = 1 ) lahko funkcije opredelimo kot:
sin α = BC - ordinata točke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko krožnico
cos α = OB - abscisa točke, kjer gibljivi krak kota α seka enotsko krožnico
tg α = AD - ordinata točke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko krožnico pri x = 1
ctg α = EF - abscisa točke, kjer nosilka gibljivega kraka kota α seka tangento na enotsko krožnico pri y = 1
uredi
Glavni članek: krožna funkcija . Vsaki trigonometrični funkciji pripada inverzna funkcija . Inverze trigonometričnih funkcij imenujemo krožne ali ciklometrične funkcije .
Ker trigonometrične funkcije niso bijektivne , so krožne funkcije le delno inverzi (inverzi le na določenem območju). V spodnji tabeli so navedeni ustrezni intervali (glavne vrednosti ).
Trigonometrična funkcija
Krožna funkcija
Glavne vrednosti
x = sin y y = arc sin x -π/2 ≤ y ≤ π/2
x = cos y y = arc cos x 0 ≤ y ≤ π
x = tg y y = arc tg x -π/2 ≤ y ≤ π/2
x = ctg y y = arc ctg x 0 ≤ y ≤ π
x = sec y y = arc sec x 0 ≤ y ≤ π
x = csc y y = arc csc x -π/2 ≤ y ≤ π/2
uredi
Trigonometrične funkcije lahko za majhne vrednosti argumenta razvijemo v Taylorjevo vrsto (opomba: argument x mora biti v radianih ):
sin
x
=
x
−
x
3
3
!
+
x
5
5
!
−
…
+
(
−
1
)
n
x
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
!
±
…
{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}\pm \ldots }
cos
x
=
1
−
x
2
2
!
+
x
4
4
!
−
…
+
(
−
1
)
n
x
2
n
(
2
n
)
!
±
…
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\ldots +(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}\pm \ldots }
tg
x
=
x
+
1
3
x
3
+
2
15
x
5
+
17
315
x
7
+
…
+
2
2
n
(
2
2
n
−
1
)
B
2
n
(
2
n
)
!
x
2
n
−
1
+
…
{\displaystyle \operatorname {tg} x=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\ldots +{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}+\ldots }
Pri tem B n označujejo Bernoullijeva števila .
Funkcije kompleksnega argumenta
uredi
Trigonometrične funkcije lahko razširimo tako, da dovolimo, da je argument funkcije kompleksen . Pri tem si lahko pomagamo z Eulerjevo enačbo :
e
i
z
=
cos
z
+
i
sin
z
.
{\displaystyle e^{iz}=\cos z+i\sin z\!\,.}
Odtod dobimo
sin
z
=
e
i
z
−
e
−
i
z
2
i
,
{\displaystyle \sin z={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\!\,,}
cos
z
=
e
i
z
+
e
−
i
z
2
.
{\displaystyle \cos z={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\!\,.}
Osnovne zveze med kotnimi funkcijami
uredi
(
sin
(
x
)
)
2
+
(
cos
(
x
)
)
2
=
1
{\displaystyle (\sin(x))^{2}+(\cos(x))^{2}=1}
1
+
(
tg
(
x
)
)
2
=
1
(
cos
(
x
)
)
2
{\displaystyle 1+(\operatorname {tg} (x))^{2}={\frac {1}{(\cos(x))^{2}}}}
1
+
(
ctg
(
x
)
)
2
=
1
(
sin
(
x
)
)
2
{\displaystyle 1+(\operatorname {ctg} (x))^{2}={\frac {1}{(\sin(x))^{2}}}}
Kotne funkcije komplementarnih kotov
uredi
sin
(
π
2
−
α
)
=
cos
α
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\cos \alpha }
cos
(
π
2
−
α
)
=
sin
α
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha }
tg
(
π
2
−
α
)
=
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\operatorname {ctg} \alpha }
ctg
(
π
2
−
α
)
=
tg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\operatorname {tg} \alpha }
Prehod na ostri kot
uredi
sin
(
π
−
α
)
=
sin
α
{\displaystyle \sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha }
sin
(
π
+
α
)
=
−
sin
α
{\displaystyle \sin(\pi +\alpha )=-\sin \alpha }
cos
(
π
−
α
)
=
−
cos
α
{\displaystyle \cos(\pi -\alpha )=-\cos \alpha }
cos
(
π
+
α
)
=
−
cos
α
{\displaystyle \cos(\pi +\alpha )=-\cos \alpha }
tg
(
π
−
α
)
=
−
tg
α
{\displaystyle \operatorname {tg} (\pi -\alpha )=-\operatorname {tg} \alpha }
ctg
(
π
−
α
)
=
−
ctg
α
{\displaystyle \operatorname {ctg} (\pi -\alpha )=-\operatorname {ctg} \alpha }
Kotne funkcije dvojnih kotov
uredi
sin
2
α
=
2
sin
α
cos
α
{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }
cos
2
α
=
(
cos
α
)
2
−
(
sin
α
)
2
{\displaystyle \cos 2\alpha =(\cos \alpha )^{2}-(\sin \alpha )^{2}}
tg
2
α
=
2
tg
α
1
−
(
tg
α
)
2
{\displaystyle \operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-(\operatorname {tg} \alpha )^{2}}}}
Kotne funkcije trojnih kotov
uredi
sin
3
α
=
3
sin
α
−
4
(
sin
α
)
3
{\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4(\sin \alpha )^{3}}
cos
3
α
=
4
(
cos
α
)
3
−
3
cos
α
{\displaystyle \cos 3\alpha =4(\cos \alpha )^{3}-3\cos \alpha }
uredi
tg
α
2
=
1
−
cos
α
sin
α
{\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}}
sin
α
2
=
±
1
−
cos
α
2
{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}}
cos
α
2
=
±
1
+
cos
α
2
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}}
sin
(
α
+
β
)
=
sin
α
cos
β
+
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }
sin
(
α
−
β
)
=
sin
α
cos
β
−
cos
α
sin
β
{\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta }
cos
(
α
+
β
)
=
cos
α
cos
β
−
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }
cos
(
α
−
β
)
=
cos
α
cos
β
+
sin
α
sin
β
{\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }
