Wythoffov simbol
Wythoffov simbol so prvi uporabili Harold Scott MacDonald Coxeter (1907–2003), Hugh Christopher Longuet-Higgins (1923–2004) in Miller v svojih pregledih uniformnih poliedrov. Predstavlja način uporabe Wythoffove konstrukcije z uporabo Schwarzevih trikotnikov
Schwartzov trikotnik je trikotnik, ki z lastnimi odboji na robovih, pokrije neskončno krat sfero ali ravnino. Običajni zapis za trikotnik so tri števila (cela števila ali ulomki) tako, da je π/x kot v enem izmed oglišč. Za zgled naj nam služi trikotnik (2 3 4) s simetrijo kocke, vrednosti (5/2 5/2 5/2) pa pomenijo stransko ploskev ikozaedra.
Wythoffova konstrukcija v treh razsežnostih sestavlja izbira točke v trikotniku katere razdalja do vsake izmed stranic, če je neničelna, je enaka in pada pravokotno na vsak rob.
Vsaka stranica trikotnika se imenuje po nasprotnem kotu. Tako je stranica nasproti pravemu kotu označena z '2'. Simbol tako predstavlja izključeno|vključeno. Vsako od števil p v simbolu postane mnogokotnik pn, kjer je n število drugih robov, ki nastopajo pred črtico. Tako je v 3 | 4 2 oglišče točka postane degenerirani mnogokotnik s stranicami 3x0 leži v kotu π/3 trikotnika in višino od tega vogala lahko smatramo kot, da tvori polovico meje med kvadratom (ima 4x1 stranic) in dvokotnikom (ima 2x1 stranic) z ničelno površino.
Posebni primer za snub-oblike, ki imajo simbol | p q r, lahko postavimo oglišče v središče sfere. Stranske ploskve prirezane oblike se izmenjujejo kot p 3 q 3 r 3. Iz tega se dobi antiprizmo, ko je q=r=2.
Vsak simbol predstavlja uniformni polieder ali tlakovanje, čeprav imajo nekatera tlakovanja in poliedri različne Wythoffove simbole za različne generatorje simetrije. Zgledi: pravilna kocka ima simbol enak 3 | 4 2 s simetrijo Oh. Kvadratna prizma z dvema barvama ima Wythofov simbol 2 4 | 2 . Simetrija D4h s tremi barvami ima Wythoffov simbol 2 2 2 |.
Skupna preglednica
uredi
Obstaja sedem točk generiranja za vsako od množic p, q, r (in nekaj posebnih oblik)
| splošno | pravokotni trikotnik (r=2) | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| opis | Wythoffov simbol |
konfiguracija oglišč |
Wythoffov simbol |
konfiguracija oglišč |
Schläflijev simbol |
| pravilen in kvazipravilen |
q | p r | (p.r)q | q | p 2 | pq | {p,q} |
| p | q r | (q.r)p | p | q 2 | qp | {q,p} | |
| r | p q | (q.p)r | 2 | p q | (q.p)² | t1{p,q} | |
| prisekan in razširjen |
q r | p | q.2p.r.2p | q 2 | p | q.2p.2p | t0,1{p,q} |
| p r | q | p.2q.r.2q | p 2 | q | p. 2q.2q | t0,1{q,p} | |
| p q | r | 2r.q.2r.p | p q | 2 | 4.q.4.p | t0,2{p,q} | |
| parne stranske ploskve | p q r | | 2r.2q.2p | p q 2 | | 4.2q.2p | t0,1,2{p,q} |
| p q (r s) | | 2p.2q.-2p.-2q | p 2 (r s) | | 2p.4.-2p.4/3 | ||
| prirezan | | p q r | 3.r.3.q.3.p | | p q 2 | 3.3.q.3.p | s{p,q} |
| | p q r s | (4.p.4.q.4.r.4.s)/2 | - | - | ||
Obstajajo trije posebni primeri:
- p q (r s) | – to je mešanica p q r | in p q s |.
- | p q r – prirezane (snub) oblike uporabljajo ta simbol, ki se sicer ne uporablja.
- | p q r s – edinstvena prirezana oblika za U75, ki ga ne moremo konstruirati po Wythoffu.
Opis
urediŠtevila p, q, r opisujejo osnovni trikotnik grupe simetrije: na njegovih ogliščih se generirajoča zrcala srečajo v kotih π/p, π/q, π/r. na sferi so trije glavni tipi simetrije (3 3 2), (4 3 2) in (5 3 2) in neskončna družina (p 2 2) za poljuben p.
Položaj vertikalne črtice v simbolu določa določen položaj točke generiranja v osnovnem trikotniku. Točka generiranja je lahko vključena ali izključena oziroma aktivirana ali neaktivirana. To razlikovanje kreira 8 (23) možnih oblik. Pri tem smo zanemarili primer, ko je točka generiranja na vseh zrcalih.
V tej notaciji so zrcala označena z redom odboja nasprotnega oglišča. Vrednosti p,q,r, ki se nahajajo pred vertikalno črto pripadajo aktivnim zrcalom.
Nemogoč simbol v obliki | p q r pove, da so vse točke na zrcalih. To pa je možno samo, če so trikotniki degenerirani oziroma zmanjšani v točko. Ta neuporabljen simbol se torej koristi za predstavitev primera, ko so vsa zrcala aktivna. Pri tem so vsi neparni odboji izpuščeni. Rezultirajoča slika ima samo vrtilno (rotacijsko) simetrijo.
Ta simbol je funkcionalno podoben splošnejšemu Coxeter-Dinkinovemu diagramu. V njem vsak vozel predstavlja zrcalo in loke med njimi. Loke označimo s števili. Pomenijo pa kote med zrcali. Vozel obdamo s krogcem, če točka ni na zrcalu.
Trikotniki simetrije
urediZnani so 4 simetrijski razredi zrcaljenja na sferi, in dva v evklidski ravnini. Nekaj teh neskončno mnogih vzorcev v hiperbolični ravnini je tudi prikazanih.
- (p 2 2) diedrska simetrija, p = 2, 3, 4... (red 4p)
- (3 3 2) tetraedrska simetrija (reda 24)
- (3 3 3) *333 simetrija (evklidska ravnina)
- (4 3 2) oktaedrska simetrija (reda 48)
- (4 3 3) *433 simetrija (hiperbolična ravnina)
- (4 4 2) *442 simetrija: trikotnik 45°-45°-90°
- (4 4 3) *443 simetrija (hiperbolična ravnina)
- (5 3 2) ikozaedrska simetrija (reda 120)
- (5 4 2) *542 simetrija (hiperbolična ravnina)
- (6 3 2) *632 simetrija: trikotnik 30°-60°-90°
- (7 3 2) *732 simetrija (hiperbolična ravnina)
| diedrska sferna | sferna | |||
|---|---|---|---|---|
| D2h | D3h | Td | Oh | Ih |
| *222 | *322 | *332 | *432 | *532 |
 (2 2 2) |
 (3 2 2) |
 ( 3 3 2) |
 (4 3 2) |
 (5 3 2) |
Zgornje grupe simetrije vključujejo samo celoštevilčne rešitve na sferi. Seznam Schwarzevih trikotnikov vključuje racionalna števila in določa celotno množico rešitev nekonveksnih uniformnih poliedrov.
| p4m | p3m | p6m |
|---|---|---|
| *442 | *333 | *632 |
 (4 4 2) |
 (3 3 3) |
 (6 3 2) |
| *732 | *542 | *433 |
|---|---|---|
 (7 3 2) |
 (5 4 2) |
 (4 3 3) |
V zgornjih tlakovanjih predstavlja vsak trikotnik osnovno domeno in je pobarvan s parnimi in neparnimi odboji.
Celotno sferno in ravninsko tlakovanje
urediIzbrana tlakovanja so kreirana z Wythoffovo konstrukcijo in so prikazana spodaj.
Sferno tlakovanje (r = 2)
uredi| (p q 2) | osnovni trikotniki |
starševsko telo | prisekan | rektificiran | dvojno prisekan | dvojno rektificiran (dualen) |
kanteliran | omniprisekan (kantiprisekan) |
prirezan |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wythoffov simbol | q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
| Schläflijev simbol | t0{p,q} | t0,1{p,q} | t1{p,q} | t1,2{p,q} | t2{p,q} | t0,2{p,q} | t0,1,2{p,q} | s{p,q} | |
| Coxeter-Dinkinov diagram |    
|
|
|
|
|
|
|
| |
| konfiguracija oglišč | pq | (q.2p.2p) | (p.q.p.q) | (p. 2q.2q) | qp | (p. 4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p. 3.q) | |
| tetraedrsko (3 3 2) |
|
 {3,3} |
 (3.6.6) |
 (3.3a.3.3a) |
 (3.6.6) |
 {3,3} |
 (3a.4.3b.4) |
 (4.6a.6b) |
 (3.3.3a.3.3b) |
| oktaedrsko (4 3 2) |
|
 {4,3} |
 (3.8.8) |
 (3.4.3.4) |
 (4.6.6) |
 {3,4} |
 (3.4.4a.4) |
 (4.6.8) |
 (3.3.3a.3.4) |
| ikozaedrsko (5 3 2) |
|
 {5,3} |
 (3.10.10) |
 (3.5.3.5) |
 (5.6.6) |
 {3,5} |
 (3.4.5.4) |
 (4.6.10) |
 (3.3.3a.3.5) |
Diedrska simetrija (q = r = 2)
urediSferno tlakovanje z diedrsko simetrijo obstaja za vse p = 2, 3, 4, ... mnogi so z dvokotniškimistranskimi ploskvami, ki postanejo degenerirani poliedri. Dve od osmih oblik (rektificirana in kantelirana) so ponovitve in so v preglednici izpuščene.
| (p 2 2) | osnovni trikotniki |
starševsko telo | prisekan | dvojno prisekan (prisekan dualen) |
dvojno rektificiran (dualen) |
omniprisekan (kantiprisekan) |
prirezan | ||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| razširjeni Schläflijev simbol |
|||||||||
| t0{p,2} | t0,1{p,2} | t1,2{p,2} | t2{p,2} | t0,1,2{p,2} | s{p,2} | ||||
| Wythoffov simbol | 2 | p 2 | 2 2 | p | 2 p | 2 | p | 2 2 | p 2 2 | | | p 2 2 | |||
| Coxeter–Dinkinov diagram | 
|
|
|
|
|
| |||
| konfiguracija oglišč | p² | (2.2p.2p) | (p.p) | 2p | (4.2p.4) | (3.3.p. 3) | |||
| (2 2 2) |
|
 {2,2} |
2.4.4 | 4.4.2 | {2,2} |
 4.4.4 |
 3.3.3.2 | ||
| (3 2 2) |
|
 {3,2} |
 2.6.6 |
 4.4.3 |
 {2,3} |
 4.4.6 |
 3.3.3.3 | ||
| (4 2 2) | {4,2} | 2.8.8 | 4.4.4 |
{2,4} |  4.4.8 |
 3.3.3.4 | |||
| (5 2 2) | {5,2} | 2.10.10 |  4.4.5 |
{2,5} |  4.4.10 |
 3.3.3.5 | |||
| (6 2 2) | {6,2} |
2.12.12 | 4.4.6 |
 {2,6} |
 4.4.12 |
 3.3.3.6 | |||
| ... | |||||||||
Ravninska tlakovanja (r = 2)
urediPrikazana so nekatera značilna hiperbolična tlakovanja kot projekcija na Poincaréjevem disku.
| (p q 2) | osnovni trikotnik |
starševsko telo | prisekan | rektificiran | dvojno prisekan | dvojno rektificiran (dualen) |
kanteliran | omniprisekan (kantiprisekan) |
prirezan |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wythoffov simbol | q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
| Schläflijev simbol | t0{p,q} | t0,1{p,q} | t1{p,q} | t1,2{p,q} | t2{p,q} | t0,2{p,q} | t0,1,2{p,q} | s{p,q} | |
| Coxeter-Dinkinov diagram |
|
|
|
|
|
|
|
| |
| konfiguracija oglišč | pq | (q.2p.2p) | (p.q.p.q) | (p. 2q.2q) | qp | (p. 4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p. 3.q) | |
| kvadratno tlakovanje (4 4 2) |
 V4.8.8 |
 {4,4} |
 4.8.8 |
 4.4a.4.4a |
 4.8.8 |
 {4,4} |
 4.4a.4b.4a |
 4.8.8 |
 3.3.4a.3.4b |
| (hiperbolična ravnina) (5 4 2) |
|
 {5,4} |
 4.10.10 |
 4.5.4.5 |
 5.8.8 |
 {4,5} |
 4.4.5.4 |
 4.8.10 |
 3.3.4.3.5 |
| (hiperbolična ravnina) (5 5 2) |
|
 {5,5} |
 5.10.10 |
 5.5.5.5 |
 5.10.10 |
 {5,5} |
 4.4.5.4 |
 4.10.10 |
 3.3.5.3.5 |
| šestkotno tlakovanje (6 3 2) |
V4.6.12 |
 {6,3} |
 3.12.12 |
 3.6.3.6 |
 6.6.6 |
 {3,6} |
 3.4.6.4 |
 4.6.12 |
 3.3.3.3.6 |
| (hiperbolična ravnina) (7 3 2) |
|
 {7,3} |
 3.14.14 |
 3.7.3.7 |
 7.6.6 |
 {3,7} |
 3.4.7.4 |
 4.6.14 |
 3.3.3.3.7 |
| (hiperbolična ravnina) (8 3 2) |
|
 {8,3} |
 3.16.16 |
 3.8.3.8 |
 8.6.6 |
 {3,8} |
 3.4.8.4 |
 4.6.16 |
 3.3.3.3.8 |
| (hiperbolična ravnina) (∞ 3 2)  
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| (hiperbolična ravnina) (∞ 4 2) 
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| (hiperbolična ravnina) (∞ ∞ 2)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ravninska tlakovanja (r > 2)
urediCoxeter-Dinkinov diagram je podan v linearni obliki, čeprav je v resnici trikotnik, ki ima zadnji segment povezan s prvim vozlom.
| Wythoffov simbol (p q r) |
osnovni trikotniki |
q | p r | r q | p | r | p q | r p | q | p | q r | p q | r | p q r | | | p q r |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Coxeter-Dinkinov diagram | 
|
|
|
|
|
|
|
| |
| konfiguracija oglišč | (p.q)r | (r.2p.q.2p) | (p.r)q | (q.2r.p. 2r) | (q.r)p | (p. 2q.r.2q) | (2p.2q.2r) | (3.r.3.q.3.p) | |
| evklidski (3 3 3) |
|
 (3.3)3 |
 3.6.3.6 |
 (3.3)3 |
 3.6.3.6 |
 (3.3)3 |
 3.6.3.6 |
 6.6.6 |
 3.3.3.3.3.3 |
| hiperbolični (4 3 3) |
|
 (3.4)³ |
 3.8.3.8 |
 (3.4)³ |
 3.6.4.6 |
 (3.3)4 |
 3.6.4.6 |
 6.6.8 |
 3.3.3.3.3.4 |
| hiperbolični (4 4 3) |
|
 (3.4)4 |
 3.8.4.8 |
 (3.4)4 |
 3.6.4.6 |
 (3.4)4 |
 4.6.4.6 |
 6.8.8 |
 3.3.3.4.3.4 |
| hiperbolični (4 4 4) |
|
 (4.4)4 |
 4.8.4.8 |
 (4.4)4 |
 4.8.4.8 |
 (4.4)4 |
 4.8.4.8 |
 8.8.8 |
 3.4.3.4.3.4 |
| hiperbolični (3 3 ∞)
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
| hiperbolični (3 ∞ ∞)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| hiperbolični (∞ ∞ ∞)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Prekrivajoča se sferna tlakovanja (r = 2)
urediTlakovanja so prikazana kot poliedri. Nekaj oblik je degeneriranih. Te so prikazane z oklepaji za slike oglišč, s prekrivajočimi se robovi ali oglišči.
| (p q 2) | osnovni trikotnik |
starševsko telo | prisekan | rektificiran | dvojno prisekan | dvojno prisekan (dualen) |
kanteliran | omniprisekan (kantiprisekan) |
prirezan |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wythoffov simbol | q | p 2 | 2 q | p | 2 | p q | 2 p | q | p | q 2 | p q | 2 | p q 2 | | | p q 2 | |
| Schläflijev simbol | t0{p,q} | t0,1{p,q} | t1{p,q} | t1,2{p,q} | t2{p,q} | t0,2{p,q} | t0,1,2{p,q} | s{p,q} | |
| Coxeter-Dinkinov diagram |
|
|
|
|
|
|
|
| |
| konfiguracija oglišč | pq | (q.2p.2p) | (p.q.p.q) | (p. 2q.2q) | qp | (p. 4.q.4) | (4.2p.2q) | (3.3.p. 3.q) | |
| ikozaedersko (5/2 3 2) |
 {3,5/2} |
 (5/2.6.6) |
 (3.5/2)2 |
 [3.10/2.10/2] |
 {5/2,3} |
 [3.4.5/2.4] |
 [4.10/2.6] |
 (3.3.3.3.5/2) | |
| ikozaedersko (5 5/2 2) |
 {5,5/2} |
 (5/2.10.10) |
 (5/2.5)2 |
 [5.10/2.10/2] |
 {5/2,5} |
 (5/2.4.5.4) |
 [4.10/2.10] |
 (3.3.5/2.3.5) |
Glej tudi
urediZunanje povezave
uredi- Weisstein, Eric Wolfgang. »Wythoff Symbol«. MathWorld.
- Wythoffov simbol (angleško)