Razlomak

U matematici, razlomak je broj koji opisuje jedan ili više jednakih delova celine. Razlomak (od latinske reči Fractus što znači slomljeno, razlomljeno) je odnos jednog celog broja (brojioca) prema drugom (imeniocu) koji nije u njemu sadržan kao sačinitelj. Jednostavni ili obični razlomak je količnik koji se dobiva deljenjem celog broja prirodnim. Zapisuje se pomoću kose crte kao npr. 7/4 ili pomoću vodoravne razlomačke crte npr. ${\tfrac {2}{3}}$ .

Skup svih brojeva koji se mogu zapisati pomoću jednostavnog razlomka zove se skup racionalnih brojeva, a označava se znakom $\mathbb {Q}$ . Deljenik se zove brojilac razlomka, a nalazi se levo od kose crte ili iznad razlomačke crte. Delitelj se zove imenilac razlomka, a nalazi se desno od kose crte ili ispod razlomačke crte.

Zapisivanje

Pravi razlomak je razlomak čija je apsolutna vrednost manja od 1, npr. ${\tfrac {2}{3}}$ . Apsolutna vrednost nepravog razlomka veća je ili jednaka 1, npr. ${\tfrac {5}{2}}$ .

Razlomak ${\frac {2}{3}}$ — broj 2 je brojilac, a 3 imenilac. „Pravi“ razlomak ima brojilac manji od imenioca: ${\frac {1}{5}}$ , inače je „nepravi“ npr. ${\frac {6}{5}}$ ; decimalni razlomci imaju kao imenitelj broj 10, 100, 1000... (zavisno od broja decimalnih mesta): 0,5 bi bilo ${\frac {5}{10}}$ .
Razlomak ${\frac {1}{4}}$ se sastoji iz tri dela: brojilac (1), imenilac (4) i razlomačka crta.(/)

Pravi razlomak je onaj kome je brojilac manji od imenioca. Nepravi razlomak je onaj kome je brojilac veći od imenioca, a prividan razlomak je onaj kome je brojilac deljiv imeniocem. Svaki nepravi razlomak može se napisati u obliku mešovitog broja, odnosno pomoću prirodnog broja i razlomka. To radimo tako što: na primer, imamo razlomak ${\frac {25}{4}}$ - njega ćemo napisati u obliku mešovitog broja: 25 delimo brojem 4. Broj 4 se u 25 sastoji 6 puta (4*6=24) i ostaje nam ostatak 1. Broj 6 označava 6 celih, a ostatak jedan koliko uzimamo. Ovaj mešovit broj izgledao bi ovako: $6{\frac {1}{4}}$ .

Mešani broj suma je celog broja različitog od nule i pravog razlomka. Suma je prikazana bez znaka plus „+”. Na primer, ako se imaju dve torte i tri četvrtine treće torte, ima se $2+{\tfrac {3}{4}}=2{\tfrac {3}{4}}$ torte. Nepravi razlomak ${\tfrac {d}{c}}$ se pretvara u mešani broj $a{\tfrac {b}{c}}$ tako da se podeli brojilac s imeniocem, tada je celi deo količnika a, ostatak je b, a imenilac c ostaje isti kao na početku.

Dvojni razlomak je razlomak kojemu su brojilac i imenilac razlomci. Pojednostavljuju se u jednostavan razlomak tako da je novom razlomku brojilac umnožak spoljnih brojeva, a imenilac umnožak unutrašnjih brojeva. Alternativno, može se najduža razlomačka crta zameniti znakom za deljenje, te podeliti dobijene razlomke:

{\frac {\tfrac {1}{2}}{\tfrac {1}{3}}}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {3}{1}}={\tfrac {3}{2}}=1{\tfrac {1}{2}}

Ako je brojilac ili imenilac dvojnog razlomka celi broj tada se piše u obliku razlomka s brojiocem 1:

{\frac {8}{\tfrac {1}{3}}}=8\cdot {\tfrac {3}{1}}=24.

Odnos

Razlomak se može pisati i u obliku odnosa npr. ${\tfrac {a}{b}}=a:b$ , za koji vredi:

(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd)\,

(a,b)-(c,d)=(ad-bc,bd)\,

(a,b)\cdot (c,d)=(ac,bd)

(a,b):(c,d)=(ad,bc){\text{ (za c ≠ 0)}}

Aritmetičke operacije

Proširivanje razlomaka

Razlomak se proširuje tako što se njegov brojilac i imenilac pomnože nekim celim brojem c. Prošireni razlomak je jednak početnom razlomku.

{\frac {3}{7}}={\frac {3}{7}}\cdot {\frac {2}{2}}={\frac {3\cdot 2}{7\cdot 2}}={\frac {6}{14}}

Skraćivanje razlomaka

Razlomak se skraćuje tako da se njegov brojilac i imenilac podele nekim celim brojem c. Po pravilu su brojilac i imenilac deljivi brojem c. Skraćeni razlomak jednak je početnom razlomku.

{\frac {5}{10}}={\frac {5:5}{10:5}}={\frac {1}{2}}

Parnost imenioca

Verovatnoća da je imenilac nekog razlomak paran iznosi 1 : 3 jer postoje tri mogućnosti za brojilac i imenilac: oba su neparna; brojilac je paran, a imenilac neparan; brojilac je neparan, a imenilac paran. Ne razmatra se slučaj kad su i brojilac i imenilac parni, jer se tada razlomak može skratiti i u tom slučaju brojilac ili imenilac je neparan.

Recipročna vrednost

Ako se ima jednostavni razlomak ${\tfrac {a}{b}}$ , njegova recipročna vrednost iznosi ${\tfrac {b}{a}}$ .^[1] Recipročna vrednost celog broja a iznosi ${\tfrac {1}{a}}$ . Recipročna vrednost broja oblika jednostavnog razlomka ${\tfrac {1}{a}}$ iznosi a.

Sabiranje i oduzimanje

Prilikom sabiranja i oduzimanja, razlomci se svode na najmanji zajednički imenilac'. On je najmanji zajednički sadržilac imenilaca tih razlomaka. Nakon svođenja na zajednički imenilac, brojioci se saberu ili oduzmu zavisno od operacije.

{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{3}}={\frac {1\cdot 3}{4\cdot 3}}+{\frac {1\cdot 4}{3\cdot 4}}={\frac {3}{12}}+{\frac {4}{12}}={\frac {7}{12}}.

Ukoliko se saberu razlomak i celi broj, celi broj se može pisati kao razlomak s imeniocem 1 te se normalno svodi na zajednički imenilac pri sabiranju.

{\frac {3}{4}}+2={\frac {3}{4}}+{\frac {2}{1}}={\frac {3}{4}}+{\frac {8}{4}}={\frac {11}{4}}=2{\frac {3}{4}}

Množenje

Množenje dva razlomka

Razlomci se množe tako da im se pomnože brojioci te imenioci. Umnožak brojilaca postaje brojilac rezultata, a umnožak imenilaca postaje imenilac rezultata.

{\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{12}}

Prilikom množenja dva ili više razlomaka bilo koji brojilac se može pokratiti s nekim imeniocem.

{\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {{\cancel {2}}^{~1}}{{\cancel {3}}^{~1}}}\cdot {\tfrac {{\cancel {3}}^{~1}}{{\cancel {4}}^{~2}}}={\tfrac {1}{1}}\cdot {\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}

Množenje razlomka celim brojem

Celi broj se zapisuje u obliku razlomka s imeniocem 1 te se normalno množe brojioci i imenioci.

6\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {6}{1}}\cdot {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {18}{4}}

Deljenje

Razlomci se dele tako da se deljenik pomnoži recipročnim deliteljem.

{\tfrac {1}{2}}\div {\tfrac {3}{4}}={\tfrac {1}{2}}\cdot {\tfrac {4}{3}}={\tfrac {1\cdot 4}{2\cdot 3}}={\tfrac {2}{3}}

Upoređivanje

Razlomci se mogu uspoređivati tako da se svedu na zajednički imenilac te im se porede brojioci. Ukoliko postoje mešoviti brojevi, oni se zapišu u obliku nepravih razlomaka, svedu se na zajednički imenilac te se uporede brojioci. Primetno je da se moraju svesti na zajednički imenilac, jer on ne učestvuje u upoređivanju brojilaca. Zato se razlomci ${\tfrac {a}{b}}$ i ${\tfrac {c}{d}}$ upoređuju unakrsno. Ukoliko je a · d < b · c, drugi je razlomak veći. Ako je a · d > b · c, prvi je razlomak veći. Inače, razlomci su jednaki.^[2]

Intuitivan prikaz svojstava razlomaka

Ovde je dat dokaz svojstva sabiranja, oduzimanja, množenja i deljenja razlomaka, nakon kojih se, ma kako složen bio, svaki razlomak moći izračunati.

Napomena. Radi jednostavnosti, a bez smanjenja generalnosti, sve varijable koje se koriste su prirodni brojevi.

1. Svojstvo sabiranja

${\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+bc}{bd}}$ . Kako se mogu sabirati samo polovine s polovinama, trećine s trećinama, ..., takvo pravilo vredi i ovde. Brojevima $b,d$ se nađe $V(b,d)$ odnosno najmanji zajednički sadržalac, ili se jednostavno pomnože, iz čega sledi pravilo. Ovde se koristi očitu jednakost ${\frac {c}{c}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {ac}{bc}}$ .

2. Svojstvo oduzimanja

Ovo pravilo direktno sledi iz svojstva sabiranja, tj. vredi ${\frac {a}{b}}-{\frac {c}{d}}={\frac {ad-bc}{bd}}$ .

3. Svojstvo množenja

Direktno iz definicije razlomka sledi ${\frac {1}{c}}\cdot {\frac {a}{b}}={\frac {a}{bc}}$ .
Dokažimo da vredi ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ . Ovde se zapravo pita koliko iznosi $a$ -terostruka $b$ -tina broja ${\frac {c}{d}}$ . To je isto kao da se prvo izračuna $b$ -tina tog broja te da se pomnoži sa $a$ . Formalno, ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}$ , što je i trebalo dokazati. Sada je jasno i da je ${\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{a}}=1$ .

4. Svojstvo deljenja

Pogledajmo odmah primer deljenja dva razlomka. Dokažimo da vredi ${\frac {\frac {a}{b}}{\frac {c}{d}}}={\frac {ad}{bc}}$ . Naime ako se ima na primer razlomak ${\frac {\frac {a}{b}}{c}}$ , to bi značilo da se svaka $a$ -tostruka $b$ -tina deli sa $c$ jednakim delovima, dakle imenilac postaje $b\cdot {c}$ . Međutim, ako se to $c$ deli još na $d$ -tine to znači da razlomak postaje $d$ puta veći.

Time su na jednostavan i praktičan način dokazana sva nužna i dovoljna pravila za račun s razlomcima.

Racionalizacija imenioca

Imenilac kao kvadratni koren

Racionalizira se imenilac tako da se razlomak proširuje brojem koji je jednak imeniocu razlomka.^[3]

{\frac {3}{\sqrt {7}}}={\frac {3}{\sqrt {7}}}\cdot {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {7}}}={\frac {3{\sqrt {7}}}{7}}

Imenilac kao viši koren

Ako je imenilac oblika ${\sqrt[{n}]{a}}$ , razlomak se proširuje sa ${\sqrt[{n}]{a}}^{n-1}$ :

{\frac {10}{\sqrt[{3}]{b}}}={\frac {10}{\sqrt[{3}]{b}}}\cdot {\frac {{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}{{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}{{\sqrt[{\cancel {3}}]{b}}^{\cancel {3}}}}={\frac {10{\sqrt[{3}]{b}}^{2}}{b}}

Imenilac kao binom

Ako je imenilac oblika a - b, razlomak se proširuje sa a + b.

{\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3-2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3+2{\sqrt {5}}}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3+2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9+6{\sqrt {5}}}{11}}

Ako je imenilac oblika a + b, razlomak se proširuje sa a - b.

{\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}={\frac {3}{3+2{\sqrt {5}}}}\cdot {\frac {3-2{\sqrt {5}}}{3-2{\sqrt {5}}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{{3}^{2}-(2{\sqrt {5}})^{2}}}={\frac {3(3-2{\sqrt {5}})}{9-20}}=-{\frac {9-6{\sqrt {5}}}{11}}

Ovo se može primeniti i na kompleksne brojeve gde je i ² = -1:

{\frac {7}{1+{\sqrt {-5}}}}={\frac {7}{1+{\sqrt {-5}}}}\cdot {\frac {1-{\sqrt {-5}}}{1-{\sqrt {-5}}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1^{2}-{\sqrt {-5}}^{2}}}={\frac {7(1-{\sqrt {-5}})}{1-(-5)}}={\frac {7-7{\sqrt {5}}i}{6}}

Imenovanje imenioca

Imenioce je uobičajeno imenovati dodavanjem nastavka -ina na kraj broja.

Imenilac	Ime	Imenilac	Ime	Imenilac	Ime
1	celo^[4] ili jednina^[5]	6	šestina	11	jedanaestina
2	polovina	7	sedmina	12	dvanaestina
3	trećina	8	osmina	13	trinaestina
4	četvrtina	9	devetina	14	četrnaestina
5	petina	10	desetina	15	petnaestina

Istorija

Najraniji razlomci bili su recipročni brojevi celih brojeva: drevni simboli predstavljali su deo od dva, jedan deo od tri, jedan deo od četiri i tako dalje.^[6] Egipćani su koristili egipatske razlomke oko 1000. pne. Pre oko 4000 godina, Egipćani su se delili razlomcima koristeći nešto drugačije metode. Oni su koristili najmanje zajedničke umnoške sa jediničnim razlomcima. Njihove metode su davale isti odgovor kao i savremene metode.^[7] Egipćani su takođe imali različite oznake za dijadične razlomke na Akmimovoj drvenoj ploči, i u nekoliko problema prikazanih na Ahmesovom matematičkom papirusu.

Grci su koristili jedinstvene razlomke i (kasnije) verižne razlomke. Sledbenici grčkog filozofa Pitagore (oko 530. pne) Otkrili su da kvadratni koren iz 2 ne može biti izražen kao razlomak celih brojeva. (Ovo se obično, iako verovatno pogrešno pripisuje Hipazu iz Metaponta, za kojeg se kaže da je pogubljen zbog otkrivanja ove činjenice.) Džainski matematičari u Indiji su oko 150. pne napisali „Stananga Sutru”, koja sadrži rad o teoriji brojeva, aritmetičke operacije i operacije sa razlomcima.

Smatra se da je moderni izraz razlomaka poznat kao binarasi nastao u Indiji u delu Arjabhate (oko 500. god.), Bramagupte (oko 628) i Baskara II (oko 1150).^[8] Njihova dela formiraju razlomke postavljanjem brojilaca (sansk. сamsa}}) iznad imenioca (sansk. cheda), ali bez crte između njih. U sanskritskoj literaturi razlomci su se uvek izražavali kao dodavanje ili oduzimanje od celog broja. Ceo broj je zapisan u jednom redu, a razlomak u njegova dva dela u sledećem redu. Ako je razlomak označen malim krugom ⟨०⟩ ili krstićem ⟨+⟩, on se oduzima od celog broja; ako se takav znak ne pojavi, podrazumeva se dodavanje. Na primer, Baskara I piše:^[9]

६ १ २

१ १ १_०

४ ५ ९

što je ekvivalentno sa

6 1 2

1 1 −1

4 5 9

i može se napisati u modernoj notaciji kao 61/4, 11/5, i 2 − 1/9 (i.e., 18/9).

Vidi još

Reference

^ „Recipročni brojevi”. Eduvizija. Pristupljeno 2016-07-28.
^ „Uspoređivanje razlomaka - 01”. YouTube.
^ „Racionalizacija nazivnika”. Eduvizija. Pristupljeno 2016-07-28.
^ „Koliko jedno cijelo ima polovina, trećina, četvrtina, ...”. YouTube.
^ Borjana Brdar, Marijana Hunjek i Nikola Lepen. „str. 7” (PDF). Uvođenje skupa racionalnih brojeva. Matematički odsjek, Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu. Pristupljeno 2016-07-28. ^{[mrtva veza]}
^ Eves, Howard (1990). An introduction to the history of mathematics (6th izd.). Philadelphia: Saunders College Pub. ISBN 978-0-03-029558-4.
^ Milo Gardner (19. 12. 2005). „Math History”. Arhivirano iz originala 19. 12. 2005. g. Pristupljeno 2006-01-18. CS1 održavanje: Format datuma (veza) See for examples and an explanation.
^ Miller, Jeff (22. 12. 2014). „Earliest Uses of Various Mathematical Symbols”. Arhivirano iz originala 20. 2. 2016. g. Pristupljeno 15. 2. 2016. CS1 održavanje: Format datuma (veza)
^ Filliozat, Pierre-Sylvain (2004). „Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature”. Ur.: Chemla, Karine; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen; et al. History of Science, History of Text. Boston Series in the Philosophy of Science (na jeziku: engleski). 238. Dordrecht: Springer Netherlands. str. 152. ISBN 978-1-4020-2320-0. doi:10.1007/1-4020-2321-9_7.

Spoljašnje veze

„Fraction, arithmetical”. The Online Encyclopaedia of Mathematics.
„Fraction”. Encyclopædia Britannica.
„Fraction (mathematics)”. Citizendium.
„Fraction”. PlanetMath. Arhivirano iz originala 25. 10. 2019. g. Pristupljeno 29. 9. 2019. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[1] „Recipročni brojevi”. Eduvizija. Pristupljeno 2016-07-28.

[2] „Uspoređivanje razlomaka - 01”. YouTube.

[3] „Racionalizacija nazivnika”. Eduvizija. Pristupljeno 2016-07-28.

[4] „Koliko jedno cijelo ima polovina, trećina, četvrtina, ...”. YouTube.

[5] Borjana Brdar, Marijana Hunjek i Nikola Lepen. „str. 7” (PDF). Uvođenje skupa racionalnih brojeva. Matematički odsjek, Prirodoslovno-matematički fakultet u Zagrebu. Pristupljeno 2016-07-28. ^{[mrtva veza]}

[eves-6] Eves, Howard (1990). An introduction to the history of mathematics (6th izd.). Philadelphia: Saunders College Pub. ISBN 978-0-03-029558-4.

[7] Milo Gardner (19. 12. 2005). „Math History”. Arhivirano iz originala 19. 12. 2005. g. Pristupljeno 2006-01-18. CS1 održavanje: Format datuma (veza) See for examples and an explanation.

[jeff-8] Miller, Jeff (22. 12. 2014). „Earliest Uses of Various Mathematical Symbols”. Arhivirano iz originala 20. 2. 2016. g. Pristupljeno 15. 2. 2016. CS1 održavanje: Format datuma (veza)

[filliozat-p152-9] Filliozat, Pierre-Sylvain (2004). „Ancient Sanskrit Mathematics: An Oral Tradition and a Written Literature”. Ur.: Chemla, Karine; Cohen, Robert S.; Renn, Jürgen; et al. History of Science, History of Text. Boston Series in the Philosophy of Science (na jeziku: engleski). 238. Dordrecht: Springer Netherlands. str. 152. ISBN 978-1-4020-2320-0. doi:10.1007/1-4020-2321-9_7.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]