Чвор

Чвор је сплет или задевљање које настаје када се делови нечега савитљивог (конца, ужета, жице и сл.)^[1] чврсто вежу или замрсе на једном месту.^[2] Чворови се могу користити у озбиљне или у декоративне сврхе. Када оштећено уже пукне, везује се у чвор ради даљег одржавања своје функције. Понекад се уже кваси како би се додатно ојачало и чвор био снажнији. Чворови се такође користе и код транспорта. Разне врсте камиона, трактора и других превозних средстава користе чвор како би своје возило повезали са приколицом.

Савијање причвршћује два краја ужета један за други; чвор петље је сваки чвор који ствара петљу; а спајање означава сваки вишеланчани чвор, укључујући кривине и петље.^[3] Чвор се такође може односити, у најстрожем смислу, на граничник или дугме на крају ужета како би се спречило да тај крај исклизне кроз отвор или око.^[4] Чворови су од давнина изазивали интересовање за њихову практичну употребу, као и за њихову тополошку замршеност, проучавану у области математике познатој као теорија чворова.

Својства

Јачина

Чворови слабе конопац у коме су направљени.^[5] Када је конопац са чвором напет до тачке кидања, скоро увек се прекида у чвору или близу њега, осим ако је неисправан или оштећен на другом месту. Силе савијања, гњечења и хабања које држе чвор на месту такође неравномерно напрежу влакна ужета и на крају доводе до смањења снаге. Тачни механизми који узрокују слабљење и неуспех су сложени и предмет су континуираног проучавања. Посебна влакна која показују разлике у боји као одговор на напрезање се развијају и користе за проучавање стреса у вези са типовима чворова.^[6]^[7]

Релативна чврстоћа чвора, такође названа ефикасност чвора, је снага кидања ужета са чворовима у пропорцији са снагом кидања ужета без чвора. Одређивање прецизне вредности за одређени чвор је тешко јер многи фактори могу утицати на тест ефикасности чвора: врста влакана, стил ужета, величина ужета, да ли је мокро или суво, како је чвор обучен пре напрезања, колико брзо се напреже, да ли се чвор више пута оптерећује и тако даље. Ефикасност уобичајених чворова креће се између 40 и 80% првобитне снаге ужета.^[8]^[9]

У већини ситуација формирање петљи и кривина са конвенционалним чворовима је далеко практичније од употребе спојева ужета, иако потоњи могу одржати скоро пуну снагу ужета. Разборити корисници дозвољавају велику сигурносну маргину у чврстоћи ужета одабраног за задатак због слабљења ефеката чворова, старења, оштећења, ударног оптерећења итд. Граница радног оптерећења ужета је генерално одређена са значајним фактором сигурности, до 15:1 за критичне апликације.^[10]

Теорија чворова

Тролисни чвор је математичка верзија преклопног чвора.

Теорија чворова је грана топологије. Бави се математичком анализом чворова, њиховом структуром и својствима, као и односима између различитих чворова. У топологији, чвор је фигура која се састоји од једне петље са било којим бројем укрштених или чворованих елемената: затворена крива у простору која се може померати све док њене нити никада не пролазе једна кроз другу. Као затворена петља, математички чвор нема одговарајуће крајеве и не може се поништити или одвезати; међутим, сваки физички чвор у парчету канапа може се сматрати математичким чвором спајањем два краја. Конфигурација од неколико чворова који се обавијају један око другог назива се веза. За класификацију и разликовање чворова и карика користе се различите математичке технике. На пример, Александров полином повезује одређене бројеве са било којим датим чвором; ови бројеви су различити за тролисни чвор, чвор са осмом и нечвор (једноставну петљу), показујући да се један не може померити у други (без да нити пролазе једна кроз другу).^[11]

Физичка теорија фрикционих чворова

Једноставну математичку теорију застоја је предложио Бејман,^[12] а проширили Мадокс и Келер.^[13] Он даје предвиђања која су приближно тачна када се тестирају емпиријски.^[14] Ниједна слично успешна теорија није развијена генерално за чворове.

Референце

^ Ashley, Clifford W. (1944), The Ashley Book of Knots, New York: Doubleday, стр. 12, „"The word knot has three distinct meanings in common use. In the broadest sense it applies to all complications in cordage, except accidental ones, such as snarls and kinks, and complications adapted for storage, such as coils, hanks, skeins, balls, etc."”
^ Речник српскога језика. Нови Сад: Матица српска. 2011. стр. 1475.
^ Ashley, Clifford W. (1944), The Ashley Book of Knots, New York: Doubleday, стр. 12
^ Ashley, Clifford W. (1944), The Ashley Book of Knots, New York: Doubleday, стр. 12, „"In its second sense it does not include bends, hitches, splices, and sinnets, and in its third and narrowest sense the term applies only to a knob tied in a rope to prevent unreeving, to provide a handhold, or (in small material only) to prevent fraying."”
^ Richards, Dave (2005). „Knot Break Strength vs Rope Break Strength”. Nylon Highway. Vertical Section of the National Speleological Society (50). Приступљено 2010-10-11.
^ Greenfieldboyce, Nell (2. 1. 2020). „A Knotty Problem Solved”. All Things Considered. Приступљено 3. 1. 2020.
^ Patil, Vishal P.; Sandt, Joseph D.; Kolle, Mathias; Dunkel, Jörn (3. 1. 2020). „Topological Mechanics of Knots and Tangles”. Science. 367 (6473): 71—75. Bibcode:2020Sci...367...71P. PMID 31896713. S2CID 209677605. doi:10.1126/science.aaz0135  .
^ Warner, Charles (1996), „Studies on the Behaviour of Knots”, Ур.: Turner, J.C.; van de Griend, P., History and Science of Knots, K&E Series on Knots and Everything, 11, Singapore: World Scientific Publishing, стр. 181—203, ISBN 978-981-02-2469-1
^ Šimon; Dekýš, V.; Palček, P. (2020). „Revision of Commonly Used Loop Knots Efficiencies”. Acta Physica Polonica A. 138 (3): 404—420. doi:10.12693/APhysPolA.138.404  .
^ „Knot & Rope Safety”. Animated Knots by Grog. 2010. Архивирано из оригинала 7. 4. 2015. г. Приступљено 2010-09-14. . "Knot & Rope Safety", AnimatedKnots.com. Accessed April 2016.
^ Nakanishi, Yasutaka; Okada, Yuki (2012). „Differences of Alexander polynomials for knots caused by a single crossing change”. Topology and Its Applications. 159 (4): 1016—1025. doi:10.1016/j.topol.2011.11.023  .
^ Bayman, "Theory of hitches," Am J Phys, 45 (1977) 185
^ Maddocks, J.H., Keller, J. B. (1987). „Ropes in Equilibrium,”. SIAM J Appl. Math. 47: 1185—1200. .
^ „The physics of knots”. www.lightandmatter.com.

Литература

Clifford W. Ashley. The Ashley Book of Knots. ISBN 0-385-04025-3. . Doubleday, New York.
Geoffrey Budworth (1999). The Ultimate Encyclopedia of Knots & Ropework. ISBN 1-55267-986-1. . Annes Publishing Limited.
John Cassidy (1985). The Klutz Book of Knots. ISBN 0-932592-10-4. . Klutz Press, Palo Alto, California.
Paul Hasluck with foreward by Des Pawson (2018). The Art of Tying Knots. ISBN 0-998852-73-2. Endless Mountains Publishing Company.
Cyrus L. Day (1953). Knots & Splices. ISBN 0-87742-252-4. . International Marine/McGraw-Hill Companies.
Raoul Graumont (1987). Handbook of Knots. ISBN 0-87033-030-6. . Cornell Maritime Press/Tidewater Publishers.
R.S. Lee. All The Knots You Need. ISBN 0-921335-47-4. . Algrove Publishing.
Allen Padgett, Bruce Smith (1987). On Rope. ISBN 0-9615093-2-5. . National Speleological Society.
Des Pawson (2001). Pocket Guide to Knots & Splices. ISBN 1-55267-218-2. . Produced for Propsero Books by RPC Publishing Ltd., London.
Brion Toss (1998). The Complete Rigger's Apprentice. ISBN 0-07-064840-9. . International Marine/McGraw-Hill Companies.
J. C. Turner and P. van de Griend, ур. (1996). History and Science of Knots. ISBN 981-02-2469-9. . World Scientific.
Šimon; Dekýš, V.; Palček, P. (2020). „Revision of Commonly Used Loop Knots Efficiencies”. Acta Physica Polonica A. 138 (3): 404—420. doi:10.12693/APhysPolA.138.404.
Aldridge, Arthur F. (1918). Knots, a study of marlinespike seamanship which embraces bends, hitches, ties, fastenings and splices and their practical application. New York City: Rudder. OCLC 1047502131. OL 18970340M.
Burgess, J. Tom (1884). Knots, ties and splices; a handbook for seafarers, travellers, and all who use cordage; with historical, heraldic, and practical notes. London: George Routledge and sons. OL 24176273M.
Dana, Homer Jackson; Pearl, William Armour (1922). The use of ropes and tackle. Pullman, WA: Washington State College. OCLC 1158196429.
Hasluck, Paul Nooncree (1907). Knotting and splicing ropes and cordage. Philadelphia: David McKay. OL 6954703M.
Verrill, Alpheus Hyatt (1917). Knots, Splices and Rope Work. Norman W. Henley Publishing.
Thomson, Sir William (1867), „On Vortex Atoms”, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, VI: 94—105
Silliman, Robert H. (децембар 1963), „William Thomson: Smoke Rings and Nineteenth-Century Atomism”, Isis, 54 (4): 461—474, JSTOR 228151, S2CID 144988108, doi:10.1086/349764
Adams, Colin (2004), The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3678-1
Adams, Colin; Crawford, Thomas; DeMeo, Benjamin; Landry, Michael; Lin, Alex Tong; Montee, MurphyKate; Park, Seojung; Venkatesh, Saraswathi; Yhee, Farrah (2015), „Knot projections with a single multi-crossing”, Journal of Knot Theory and Its Ramifications, 24 (3): 1550011, 30, MR 3342136, S2CID 119320887, arXiv:1208.5742  , doi:10.1142/S021821651550011X
Adams, Colin; Hildebrand, Martin; Weeks, Jeffrey (1991), „Hyperbolic invariants of knots and links”, Transactions of the American Mathematical Society, 326 (1): 1—56, JSTOR 2001854, doi:10.1090/s0002-9947-1991-0994161-2 
Akbulut, Selman; King, Henry C. (1981), „All knots are algebraic”, Comm. Math. Helv., 56 (3): 339—351, S2CID 120218312, doi:10.1007/BF02566217
Bar-Natan, Dror (1995), „On the Vassiliev knot invariants”, Topology, 34 (2): 423—472, doi:10.1016/0040-9383(95)93237-2 
Burton, Benjamin A. „The Next 350 Million Knots”. 36th International Symposium on Computational Geometry (SoCG 2020). Leibniz Int. Proc. Inform. 25. Schloss Dagstuhl–Leibniz-Zentrum für Informatik. стр. 1—25. doi:10.4230/LIPIcs.SoCG.2020.25  .
Collins, Graham (април 2006), „Computing with Quantum Knots”, Scientific American, 294 (4): 56—63, Bibcode:2006SciAm.294d..56C, PMID 16596880, doi:10.1038/scientificamerican0406-56
Dehn, Max (1914), „Die beiden Kleeblattschlingen”, Mathematische Annalen, 75 (3): 402—413, S2CID 120452571, doi:10.1007/BF01563732
Conway, John H. (1970), „An enumeration of knots and links, and some of their algebraic properties”, Computational Problems in Abstract Algebra, Pergamon, стр. 329—358, ISBN 978-0-08-012975-4, doi:10.1016/B978-0-08-012975-4.50034-5
Doll, Helmut; Hoste, Jim (1991), „A tabulation of oriented links. With microfiche supplement”, Math. Comp., 57 (196): 747—761, Bibcode:1991MaCom..57..747D, doi:10.1090/S0025-5718-1991-1094946-4 
Flapan, Erica (2000), When topology meets chemistry: A topological look at molecular chirality, Outlook, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-66254-3
Haefliger, André (1962), „Knotted (4k − 1)-spheres in 6k-space”, Annals of Mathematics, Second Series, 75 (3): 452—466, JSTOR 1970208, doi:10.2307/1970208
Hass, Joel (1998), „Algorithms for recognizing knots and 3-manifolds”, Chaos, Solitons and Fractals, 9 (4–5): 569—581, Bibcode:1998CSF.....9..569H, S2CID 7381505, arXiv:math/9712269  , doi:10.1016/S0960-0779(97)00109-4
Hoste, Jim; Thistlethwaite, Morwen; Weeks, Jeffrey (1998), „The First 1,701,935 Knots”, Math. Intelligencer, 20 (4): 33—48, S2CID 18027155, doi:10.1007/BF03025227
Hoste, Jim (2005), „The enumeration and classification of knots and links”, Handbook of Knot Theory (PDF), Amsterdam: Elsevier
Levine, Jerome (1965), „A classification of differentiable knots”, Annals of Mathematics, Second Series, 1982 (1): 15—50, JSTOR 1970561, doi:10.2307/1970561
Kontsevich, Maxim (1993), „Vassiliev's knot invariants”, I. M. Gelfand Seminar, Adv. Soviet Math., 2, Providence, RI: American Mathematical Society, 16: 137—150, ISBN 9780821841174, doi:10.1090/advsov/016.2/04
Lickorish, W. B. Raymond (1997), An Introduction to Knot Theory, Graduate Texts in Mathematics, 175, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98254-0, S2CID 122824389, doi:10.1007/978-1-4612-0691-0
Perko, Kenneth (1974), „On the classification of knots”, Proceedings of the American Mathematical Society, 45 (2): 262—6, JSTOR 2040074, doi:10.2307/2040074 
Rolfsen, Dale (1976), Knots and Links, Mathematics Lecture Series, 7, Berkeley, California: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-16-4, MR 0515288
Schubert, Horst (1949), „Die eindeutige Zerlegbarkeit eines Knotens in Primknoten”, Heidelberger Akad. Wiss. Math.-Nat. Kl. (3): 57—104
Silver, Dan (2006), „Knot theory's odd origins” (PDF), American Scientist, 94 (2), стр. 158—165, doi:10.1511/2006.2.158, Архивирано из оригинала (PDF) 24. 09. 2015. г., Приступљено 05. 11. 2022
Simon, Jonathan (1986), „Topological chirality of certain molecules”, Topology, 25 (2): 229—235, doi:10.1016/0040-9383(86)90041-8 
Sossinsky, Alexei (2002), Knots, mathematics with a twist, Harvard University Press, ISBN 978-0-674-00944-8
Turaev, Vladimir G. (1994), „Quantum invariants of knots and 3-manifolds”, De Gruyter Studies in Mathematics, Berlin: Walter de Gruyter & Co., 18, Bibcode:1994hep.th....9028T, ISBN 978-3-11-013704-0, arXiv:hep-th/9409028 
Weisstein, Eric W. (2013). „Reduced Knot Diagram”. MathWorld. Wolfram. Приступљено 8. 5. 2013.
Weisstein, Eric W. (2013a). „Reducible Crossing”. MathWorld. Wolfram. Приступљено 8. 5. 2013.
Witten, Edward (1989), „Quantum field theory and the Jones polynomial”, Comm. Math. Phys., 121 (3): 351—399, Bibcode:1989CMaPh.121..351W, S2CID 14951363, doi:10.1007/BF01217730
Zeeman, Erik C. (1963), „Unknotting combinatorial balls”, Annals of Mathematics, Second Series, 78 (3): 501—526, JSTOR 1970538, doi:10.2307/1970538
Burde, Gerhard; Zieschang, Heiner (1985), Knots, De Gruyter Studies in Mathematics, 5, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-008675-1
Crowell, Richard H.; Fox, Ralph (1977). Introduction to Knot Theory. ISBN 978-0-387-90272-2.
Kauffman, Louis H. (1987), On Knots, ISBN 978-0-691-08435-0
Kauffman, Louis H. (2013), Knots and Physics (4th изд.), World Scientific, ISBN 978-981-4383-00-4
Cromwell, Peter R. (2004), Knots and Links, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54831-1
Menasco, William W.; Thistlethwaite, Morwen, ур. (2005), Handbook of Knot Theory, Elsevier, ISBN 978-0-444-51452-3
Livio, Mario (2009), „Ch. 8: Unreasonable Effectiveness?”, Is God a Mathematician?, Simon & Schuster, стр. 203—218, ISBN 978-0-7432-9405-8

Спољашње везе

Knots на сајту Curlie (језик: енглески)
KnotInfo: Table of Knot Invariants and Knot Theory Resources
The Knot Atlas Архивирано на сајту Wayback Machine (28. јун 2021) — detailed info on individual knots in knot tables
KnotPlot — software to investigate geometric properties of knots
Knotscape Архивирано на сајту Wayback Machine (28. фебруар 2020) — software to create images of knots
Knoutilus Архивирано на сајту Wayback Machine (27. јун 2020) — online database and image generator of knots
KnotData.html — Wolfram Mathematica function for investigating knots
Regina Архивирано на сајту Wayback Machine (11. август 2022) — software for low-dimensional topology with native support for knots and links. Tables of prime knots with up to 19 crossings
Movie Архивирано на сајту Wayback Machine (24. септембар 2015) of a modern recreation of Tait's smoke ring experiment
History of knot theory (on the home page of Andrew Ranicki)

[1] Ashley, Clifford W. (1944), The Ashley Book of Knots, New York: Doubleday, стр. 12, „"The word knot has three distinct meanings in common use. In the broadest sense it applies to all complications in cordage, except accidental ones, such as snarls and kinks, and complications adapted for storage, such as coils, hanks, skeins, balls, etc."”

[2] Речник српскога језика. Нови Сад: Матица српска. 2011. стр. 1475.

[3] Ashley, Clifford W. (1944), The Ashley Book of Knots, New York: Doubleday, стр. 12

[4] Ashley, Clifford W. (1944), The Ashley Book of Knots, New York: Doubleday, стр. 12, „"In its second sense it does not include bends, hitches, splices, and sinnets, and in its third and narrowest sense the term applies only to a knob tied in a rope to prevent unreeving, to provide a handhold, or (in small material only) to prevent fraying."”

[Richards2005-5] Richards, Dave (2005). „Knot Break Strength vs Rope Break Strength”. Nylon Highway. Vertical Section of the National Speleological Society (50). Приступљено 2010-10-11.

[Greenfieldboyce-6] Greenfieldboyce, Nell (2. 1. 2020). „A Knotty Problem Solved”. All Things Considered. Приступљено 3. 1. 2020.

[Patil-7] Patil, Vishal P.; Sandt, Joseph D.; Kolle, Mathias; Dunkel, Jörn (3. 1. 2020). „Topological Mechanics of Knots and Tangles”. Science. 367 (6473): 71—75. Bibcode:2020Sci...367...71P. PMID 31896713. S2CID 209677605. doi:10.1126/science.aaz0135  .

[hsok-ch10-8] Warner, Charles (1996), „Studies on the Behaviour of Knots”, Ур.: Turner, J.C.; van de Griend, P., History and Science of Knots, K&E Series on Knots and Everything, 11, Singapore: World Scientific Publishing, стр. 181—203, ISBN 978-981-02-2469-1

[9] Šimon; Dekýš, V.; Palček, P. (2020). „Revision of Commonly Used Loop Knots Efficiencies”. Acta Physica Polonica A. 138 (3): 404—420. doi:10.12693/APhysPolA.138.404  .

[grog-reliability-10] „Knot & Rope Safety”. Animated Knots by Grog. 2010. Архивирано из оригинала 7. 4. 2015. г. Приступљено 2010-09-14. . "Knot & Rope Safety", AnimatedKnots.com. Accessed April 2016.

[11] Nakanishi, Yasutaka; Okada, Yuki (2012). „Differences of Alexander polynomials for knots caused by a single crossing change”. Topology and Its Applications. 159 (4): 1016—1025. doi:10.1016/j.topol.2011.11.023  .

[12] Bayman, "Theory of hitches," Am J Phys, 45 (1977) 185

[13] Maddocks, J.H., Keller, J. B. (1987). „Ropes in Equilibrium,”. SIAM J Appl. Math. 47: 1185—1200. .

[14] „The physics of knots”. www.lightandmatter.com.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]