Празан скуп

У математици, и њеној области теорији скупова, празан скуп је јединствен скуп који не садржи елементе.^[1] У аксиоматској теорији скупова, постојање празног скупа је постулирано аксиомом празног скупа. Разна својства скупова тривијално важе за празан скуп.

Сваки скуп осим празног се назива непразан.

У неким уџбеницима и популаризацијама празан скуп се назива „нултим скупом“.^[1] Међутим, нулти скуп је посебан појам у контексту теорије мере, у којој описује скуп нулте мере (који није нужно празан). Празан скуп се такође може назвати празним скупом.

Нотација

Симбол за празан скуп

Празан скп се означава симболом $\varnothing$ или $\emptyset$ , што долази од слова Ø из данског и норвешког алфабета. Симбол је увео Бурбаки (Андре Вајл) 1939. године.^[2] Још једна уобичајена нотација за празан скуп је {}. У прошлости, „0” се повремено користио као симбол за празан скуп, али се сада сматра да је то неправилна употреба нотације.^[3]

Симбол ∅ је доступан у Јуникод тачки U+2205.^[4] Може се кодирати у HTML-у као ∅; и као ∅. Може се кодирати у LaTeX-у као \varnothing. Симбол $\emptyset$ је кодиран у LaTeX-у као \emptyset.

Када се пише на језицима као што су дански и норвешки, где се знак празног скупа може помешати са абецедним словом Ø (као када се користи симбол у лингвистици), уместо њега се може користити Јуникодни знак U+29B0 обрнути празни скуп ⦰.^[5]

Својства

За сваки скуп A, празан скуп је подскуп од A:
∀A: ∅ ⊆ A
За сваки скуп A, унија A и празног скупа је једнака A:
∀A: A ∪ ∅ = A
За сваки скуп A, пресек A са празним скупом је празан скуп:
∀A: A ∩ ∅ = ∅
За сваки скуп A, Декартов производ A и празног скупа је празан:
∀A: A × ∅ = ∅
Једини подскуп празног скупа је сам празан скуп:
∀A: A ⊆ ∅ ⇒ A = ∅
Број елемената празног скупа (то јест његова кардиналност) је нула; празан скуп је коначан скуп:
|∅| = 0
За свако својство:
- за сваки елемент ∅ својство важи
- не постоји елемент ∅ за који својство важи
Обрнуто: ако за неко својство следећа два тврђења важе:
- за сваки елемент V својство важи
- не постоји елемент V за који својство важи

онда V = ∅

У теорији скупова, два скупа су једнака ако имају исте елементе; стога може да постоји само један празан скуп.

Ако се посматра као подскуп реалне бројевне праве (или општије било ког тополошког простора), празан скуп је и затворен и отворен. Све његове граничне тачке (којих нема) су унутар празног скупа, и стога је он затворен; док за сваку његову тачку (којих нема), постоји отворена околина у празном скупу, и скуп је стога отворен.

Операције на празном скупу

Када се говори о збиру елемената коначног скупа, неизбежно се долази до конвенције да је збир елемената празног скупа нула. Разлог за то је тај што је нула елемент идентитета за сабирање. Слично, производ елемената празног скупа треба сматрати да је један (погледајте празан производ), пошто је један елемент идентитета за множење.

Дисмутација је пермутација скупа без фиксних тачака. Празан скуп се може сматрати поремећајем сам по себи, јер има само једну пермутацију ( $0!=1$ ), и потпуно је тачно да се ниједан елемент (празног скупа) може наћи који задржава свој првобитни положај.

У другим областима математике

Проширени реални бројеви

Пошто празан скуп нема припаднике када се сматра подскупом било ког уређеног скупа, сваки члан тог скупа ће бити горња и доња граница за празан скуп. На пример, када се посматра као подскуп реалних бројева, са својим уобичајеним редоследом, представљеним реалоном бројевном линијом, сваки реалан број је горња и доња граница за празан скуп.^[6] Када се посматра као подскуп проширених реалних вредности формираних додавањем два „броја“ или „тачке“ реалним бројевима (наиме негативна бесконачност, означена $-\infty \!\,,$ која је дефинисана као мања од сваког другог проширеног реалног броја, и позитивна бесконачност, означена са $+\infty \!\,,$ која је дефинисана да је већа од сваког другог проширеног реалног броја), добија се да је:

$\sup \varnothing =\min(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=-\infty ,$ и $\inf \varnothing =\max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R} )=+\infty .$

Другим речима, најмања горња граница (суп или супремум) празног скупа је негативна бесконачност, док је највећа доња граница (инф или инфимум) позитивна бесконачност. По аналогији са наведеним, у домену проширених реалних вредности негативна бесконачност је идентични елемент за операторе максимума и супремума, док је позитивна бесконачност елемент идентитета за операторе минимума и инфимума.

Топологија

У било ком тополошком простору X, празан скуп је отворен по дефиницији, као и X. Пошто је комплемент отвореног скупа затворен, а празан скуп и X су комплементарни један другом, празан скуп је такође затворен, што га чини отворено-затвореним скупом. Штавише, празан скуп је компактан чињеницом да је сваки коначни скуп компактан.

Затварање празног скупа је празно. Ово је познато као „очување нулуларних унија”.

Теорија категорија

Ако је $A$ скуп, онда постоји тачно једна функција $f$ од $\varnothing$ до $A,$ празна функција. Као резултат тога, празан скуп је јединствени почетни објекат категорије скупова и функција.

Празан скуп се може претворити у тополошки простор, назван празан простор, на само један начин: дефинисањем празног скупа да буде отворен. Овај празан тополошки простор је јединствени почетни објекат у категорији тополошких простора са непрекидним мапама. Заправо, то је строги почетни објекат: само празан скуп има функцију за празан скуп.

Теорија скупова

У фон Нојмановој конструкцији ординала, 0 је дефинисана као празан скуп, а наследник ординала је дефинисан као $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ . Дакле, имамо $0=\varnothing$ , $1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}$ , $2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ , и тако даље. Фон Нојманова конструкција, заједно са аксиомом бесконачности, која гарантује постојање најмање једног бесконачног скупа, може се користити за конструисање скупа природних бројева, $\mathbb {N} _{0}$ , тако да су Пеанове аксиоме аритметике задовољене.

Извори

^ ^а ^б Weisstein, Eric W. „Empty Set”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11.
^ „Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.”.
^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. стр. 300. ISBN 007054235X.
^ „Unicode Standard 5.2” (PDF).
^ e.g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.
^ Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9.

Литература

Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).
Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium изд.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd изд.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392
Devlin, Keith (1993), The Joy of Sets (2nd изд.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
Ferreirós, Jose (2001), Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics, Berlin: Springer, ISBN 978-3-7643-5749-8
Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
Kunen, Kenneth (1980), Set Theory: An Introduction to Independence Proofs, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
Monk, J. Donald (1969), Introduction to Set Theory , McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0-898-74006-6
Potter, Michael (2004), Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction, Oxford University Press, ISBN 978-0-191-55643-2
Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010), Set Theory And The Continuum Problem, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
Tiles, Mary (2004), The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6
Cantor, Georg (1874), „Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik (на језику: немачки), 1874 (77): 258—262, S2CID 199545885, doi:10.1515/crll.1874.77.258
Johnson, Philip (1972), A History of Set Theory , Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6
Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan, ур., Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al., II, A, 7, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag, стр. 152, ISBN 3-7728-0466-7
Dauben, Joseph (1979), Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite, Harvard University Press, стр. 30—54, ISBN 0-674-34871-0
Young, William; Young, Grace Chisholm (1906), Theory of Sets of Points, Cambridge University Press
Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. (1970), Introductory Real Analysis (Rev. English изд.), New York: Dover Publications, стр. 2–3, ISBN 0486612260, OCLC 1527264
Bagaria, Joan (2020), „Set Theory”, Ур.: Zalta, Edward N., The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2020 изд.), Metaphysics Research Lab, Stanford University, Приступљено 2020-08-20
Forster, T. E. (2008). „The iterative conception of set” (PDF). The Review of Symbolic Logic. 1: 97—110.
Jech, Thomas (2003), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (Third Millennium изд.), Berlin, New York: Springer-Verlag, стр. 642, ISBN 978-3-540-44085-7, Zbl 1007.03002
Bishop, Errett (1967), Foundations of Constructive Analysis, New York: Academic Press, ISBN 4-87187-714-0
Feferman, Solomon (1998), In the Light of Logic, New York: Oxford University Press, стр. 280—283, 293—294, ISBN 0-195-08030-0
Wittgenstein, Ludwig (1975), Philosophical Remarks, §129, §174, Oxford: Basil Blackwell, ISBN 0-631-19130-5
Ferro, Alfredo; Omodeo, Eugenio G.; Schwartz, Jacob T. (септембар 1980), „Decision Procedures for Elementary Sublanguages of Set Theory. I. Multi-Level Syllogistic and Some Extensions”, Communications on Pure and Applied Mathematics, 33 (5): 599—608, doi:10.1002/cpa.3160330503
Cantone, Domenico; Ferro, Alfredo; Omodeo, Eugenio G. (1989), Computable Set Theory , International Series of Monographs on Computer Science, Oxford Science Publications, Oxford, UK: Clarendon Press, стр. xii, 347, ISBN 0-198-53807-3
Mac Lane, Saunders; Moerdijk, leke (1992), Sheaves in Geometry and Logic: A First Introduction to Topos Theory, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97710-2

Спољашње везе

Weisstein, Eric W. „Empty Set”. MathWorld.
Daniel Cunningham, Set Theory article in the Internet Encyclopedia of Philosophy.
Jose Ferreiros, The Early Development of Set Theory article in the [Stanford Encyclopedia of Philosophy].
Foreman, Matthew, Akihiro Kanamori, eds. Handbook of Set Theory. 3 vols., 2010. Each chapter surveys some aspect of contemporary research in set theory. Does not cover established elementary set theory, on which see Devlin (1993).
Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Axiomatic set theory”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Hazewinkel Michiel, ур. (2001). „Set theory”. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. ISBN 978-1556080104.
Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre in Klein's encyclopedia.
Online books, and library resources in your library and in other libraries about set theory
Rudin, Walter B. (6. 4. 1990). „Set Theory: An Offspring of Analysis”. Marden Lecture in Mathematics. University of Wisconsin-Milwaukee. Архивирано из оригинала 2021-10-31. г. — преко YouTube.

[:1-1] а ^б Weisstein, Eric W. „Empty Set”. mathworld.wolfram.com (на језику: енглески). Приступљено 2020-08-11.

[2] „Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic.”.

[3] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd изд.). McGraw-Hill. стр. 300. ISBN 007054235X.

[4] „Unicode Standard 5.2” (PDF).

[5] .g. Nina Grønnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: Almen og dansk. Akademisk forlag, Copenhagen.

[6] Bruckner, A.N., Bruckner, J.B., and Thomson, B.S. (2008). Elementary Real Analysis, 2nd edition, p. 9.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]