Sebaran binomial

Dina matematik, sebaran binomial mangrupa probability distribution diskrit nu ngajelaskeun angka keberhasilan tina sekuen n independent percobaan enya/heunteu, unggal nu hasil mibanda probabiliti p. Saperti ogé hasil/gagalna percobaan disebut ogé percobaan Bernoulli atawa Bernoulli trial. Sebaran binomial mangrupa dasar nu kawentar keur binomial test tina statistical significance.

Conto tipikalna nyaéta: 5% populasi mangrupa positif HIV. Anjeun nyokot 500 urang sacara acak. Kumaha cara yén anjeun meunang 30 atawa leuwih HIV-positip? Jumlah HIV-positip nu dicokot ku anjeun mangrupa variabel random X nu nuturkeun sebaran binomial mibanda n = 500 sarta p = .05. Hartina urang museurkeun kan probabiliti Pr[X ≥ 30].

Sacara umum, lamun variabel random X nuturkeun sebaran binomial mibanda paramater n sarta p, dituliskeun X ~ B(n, p). Probabiliti nu pasti sukses k dirumuskeun ku

$P\left[X=k\right]={n \choose k}p^{k}\left(1-p\right)^{n-k}\ {\mbox{for}}\ k=0,1,2,\cdots ,n$

di mana

${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}$

mangrupa koéfisién binomial "n milih k" (oge dilambangkeun ku C(n, k)), ti mana ngaran sebaran. Rumus bisa dipikaharti saperti kieu: urang hayang k sukses (p^k) sarta n − k gagal ((1 − p)^{n − k}). Sanajan kitu, sukses k bisa kajadian di mana waé di antara n percobaan, sarta di mana C(n, k) béda jalan kasebarna sukses k dina sekuen n percobaan.

Lamun X ~ B(n, p), mangka nilai ekspektasi X nyaéta

$E\left[X\right]=np$

sarta varian nyaéta

${\mbox{var}}\left(X\right)=np(1-p).$

Nilai nu leuwih siga atawa mode X dibérékeun ku integer panggedéna kurang atawa sarua jeung (n+1)p; lamun m = (n+1)p mangrupa interger sorangan, mangka m − 1 sarta m duanana mangrupa mode.

Lamun X ~ B(n, p) sarta Y ~ B(m, p) mangrupa variabel binomial bébas, mangka X + Y ogé mangrupa variabel binomial; sebaranna nyaéta

$B\left(n+m,p\right).$

Dua sebaran penting nu ngadeukeutan sebaran binomial nyaéta:

Binomial PDF and Normal approximation for n=6 and p=0.5.

• Lamun np sarta n(1 − p) leuwih gedé ti 5 atawa séjénna, mangka pendekatan panghadéna (dumasar kana continuity correction nu mungkin dipaké) ka B(n, p) dirumuskeun ku sebaran normal

$N\left(np,np\left(1-p\right)\right).$

Pendekatan ieu ngarupakeun huge time-saver; sajarahna, ieu mimiti dipake sebaran normal, dimimitian ku Abraham de Moivre dina bukuna The Doctrine of Chances taun 1733. Kiwari, bisa ditempo sabab tina central limit theorem, B(n, p) ngarupakeun jumlah n bebas, identically distributed 0-1 indicator variable. Inget: ieu pendekatan hasilna teu akurat lamun teu make continuity correction.Catetan: gambar nembongkeun normal and binomial probability density function (PDF) sarta lain cumulative distribution function.

Contona, anggap anjeun nyokot sampel random n ti masarakat nu populasi loba sarta nyebutkeun ten maranéhna satuju kana hiji pernyataan. Proporsi masakarat nu satuju tangtu gumantung kana sampel. Lamun grup sampel n masarakat diulang sarta bener-bener random, proprosi bakal nuturkeun sebaran normal nu mibanda mean sarua kana proporsi satuju sabenerna p dina populasi sarta mibanda simpangan baku σ = (p(1 − p)/n)^1/2. Ukuran sampel n badag ngarupakeun hal nu hade sabab simpangan baku bakal jadi leutik, nu ngijinkeun keur estimasi nu hade keur paramater p nu teu dipikanyaho.

• Lamun n badag sarta p leutik, mangka np ukuranna sedeng, mangka Poisson distribution mibanda paraméter λ = np mangrupa pendekatan nu hadé keur B(n, p).

Rumus keur Bézier curves kailhaman ku sebaran binomial.