Naturliga logaritmen

Naturliga logaritmen är en logaritm med basen e, ett transcendent tal approximativt lika med 2,718. Den naturliga logaritmen av ett tal x skrivs ofta ln(x) och är definierad för alla strikt positiva tal. Den naturliga logaritmfunktionen är en reellvärd funktion av en reell variabel:

Naturliga logaritmen

Hyperbeln y = 1/x (blå kurva) och arean från x = 1 till 6 (skuggad). Denna area är lika med den naturliga logaritmen av 6.

$\mathrm {e} ^{\ln x}=x\qquad {\mbox{om }}x>0$

$\ln \mathrm {e} ^{x}=x$

I likhet med alla logaritmiska funktioner, mappas multiplikation till addition:

$\ln(xy)=\ln x+\ln y$

Naturliga logaritmen kan definieras med integralen

$\ln x=\int _{1}^{x}{\frac {1}{t}}dt$

Ett tidigt omnämnande av naturlig logaritm gjordes av Nicholas Mercator i verket Logarithmotechnia 1658, men matematikläraren John Speidell hade redan 1619 sammanställt en tabell över naturliga logaritmer.

Egenskaper

• $\ln \mathrm {e} =1$
• $\ln(xy)=\ln x+\ln y;\quad \quad x>0,\ y>0$
• $\ln {\frac {x}{y}}=\ln x-\ln y;\quad \quad x>0,\ y>0$
• $\ln x<\ln y;\quad \quad 0<x<y$
• $\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1$
• $\lim _{n\to 0}{\frac {x^{n}-1}{n}}=\ln x$
• $\ln x^{y}=y\,\ln x;\quad \quad x>0$
• ${\frac {x-1}{x}}\leq \ln x\leq x-1;\quad \quad x>0$
• $\ln {(1+x^{\alpha })}\leq \alpha x;\quad \quad x\geq 0,\ \alpha \geq 1$

Derivata och taylorserier

Taylorpolynomen för ln(1 + x) ger noggranna approximationer endast i intervallet −1 < x ≤ 1. Notera att, för x > 1, ger taylorpolynomen av högre gradtal sämre approximationer

Den naturliga logaritmens derivata ges av

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}$

Bevis:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln(x+h)-\ln(x)}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}{\frac {\ln({\frac {x+h}{x}})}{h}}$

$=\lim _{h\to 0}\left[{\frac {1}{h}}\ln \left(1+{\frac {h}{x}}\right)\right]\quad$

$=\lim _{h\to 0}\ln \left(\left[1+{\frac {h}{x}}\right]^{\frac {1}{h}}\right)$

Låt $u={\frac {h}{x}}\Rightarrow ux=h$

${\frac {1}{h}}={\frac {1}{ux}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)=\lim _{u\to 0}\ln \left([1+u]^{\frac {1}{ux}}\right)$

$=\lim _{u\to 0}\ln \left(\left[[1+u]^{\frac {1}{u}}\right]^{\frac {1}{x}}\right)$

$={\frac {1}{x}}\lim _{u\to 0}\ln \left([1+u]^{\frac {1}{u}}\right)$

Låt $n={\frac {1}{u}}\Rightarrow u={\frac {1}{n}}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\ln(x)={\frac {1}{x}}\lim _{n\to \infty }\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

$={\frac {1}{x}}\ln \left(\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right)$

$={\frac {1}{x}}\ln \mathrm {e} \ =\ {\frac {1}{x}}$

Detta leder till taylorserierna för ln(1 + x) kring 0 (också kända som mercatorserierna):

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots \ ;\qquad \left|x\right|\leq 1,\ x\neq -1$

Referenser