Potens

Matematiska operationer v • r
Addition (+)
term + term addend + addend	=	summa
Subtraktion (−)
term − term minuend − subtrahend	=	differens
Multiplikation (× eller ·)
faktor × faktor multiplikator × multiplikand	=	produkt
Division (÷ eller /)
täljare / nämnare dividend / divisor	=	kvot
Moduloräkning (mod)
dividend mod divisor	=	rest
Exponentiering (^)
bas^exponent	=	potens
n:te roten (√)
^grad√radikand	=	rot
Logaritm (log)
log_bas(potens)	=	exponent

För den medicinska betydelsen, se Impotens. För ett läkemedels "styrka", se Potens (farmakologi).

En potens kallas ett uttryck $a^{b}$ där a kallas basen och b kallas exponenten och utläses "a upphöjt till b". Operationen att "upphöja" kallas exponentiering.

I grafräknare och i datorsammanhang brukar man uttrycka potenser som a^b där a är basen och b är exponenten.

Exempel

Uttrycket $4^{5}$ är en potens och utläses "4 upphöjt till 5" där 4 är basen och 5 är en expontent.

$4^{5}$ betyder exakt samma sak som 4 · 4 · 4 · 4 · 4. Alltså, fem stycken fyror gånger varandra vilket är lika med 1024.

Definitioner

Grafer för y = b^x för olika baser b: 10^x, e^x, 2^x och 0,5^x. Varje kurva passerar genom punkten (0, 1). Vid x = 1, är värdet av y lika med basen därför att varje tal upphöjt till 1 är talet självt

I sin enklaste form (som tidigare kallades dignitet) definieras potenser som resultatet av upprepad multiplikation. Exempelvis, 4³ (utläses 4 upphöjt till 3) blir 4 · 4 · 4 = 64. Mer allmänt gäller:

b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}

I denna definition förutsätts att exponenten är ett positivt heltal.

Potenslagarna

Ur definitionen av potenser med positiva tal som heltalsexponent, kan potenslagarna härledas:

${(x\cdot y)}^{n}=x^{n}\cdot y^{n}$

${\left({x \over y}\right)^{m}}={x^{m} \over y^{m}}$

$x^{m}\cdot x^{n}=x^{m+n}$

${x^{m} \over x^{n}}=x^{m-n},(x\neq 0)$

${(x^{m})}^{n}=x^{m\cdot n}$

Utgående från dessa lagar definieras sedan utvidgade betydelser av potens.

Utvidgning till alla heltal

Med utgångspunkt i att potenslagarna skall gälla även när exponenten är ett negativt heltal, följer av den näst sista potenslagen ovan att

a⁰ = 1 (om a ≠ 0) om m = n. Exempel: 2⁰ = 1 (läs mer under tom produkt)
a⁻ⁿ = 1 / aⁿ (om a ≠ 0) om m < n. Exempel: 2⁻¹ = 1/2¹ = 1/2 .

För a = 0 går det inte att ge en definition för a^x annat än om x > 0. Speciellt hör uttrycket 0⁰ till de odefinierbara uttrycken.

Utvidgning för rationella exponenter

Genom att tillämpa den sista potenslagen kan även potenser med rationella exponenter beräknas, förutsatt att basen är större än noll.

x = a ^p/q (där a > 0) är det positiva tal x som uppfyller x^q = a^p eftersom x^q = (a ^p/q)^q = a^{p/q ∙ q} = a^p .

Speciellt betecknas a^1/2 som (kvadrat)roten ur a (skrives ${\sqrt {a}}$ ) och a^1/3 som kubikroten ur a (skrives ${\sqrt[{3}]{a}}$ ).

Om basen är noll eller mindre, är potensen inte definierad, vilket beror på att om p är udda och q är jämnt går det inte att få likhet för negativa tal a. Udda rötter är däremot definierade för alla reella tal.

Utvidgning för alla reella exponenter

Om exponenten är irrationell, det vill säga reell men inte rationell, utgår man från kontinuitetsprincipen:

Om x₁<y<x₂ så ska a^x₁<a^y<a^x₂ gälla (där a>1), och genom att låta x₂ − x₁ bli allt mindre, bestäms a^y som ett gränsvärde. (Om 0<a<1 gäller omvända olikheter.)

Alternativ definition av exponentialfunktionen

Det är också möjligt att använda a^x = e^{x ln a} för att definiera potensfunktionen.

En sådan definition kan göras med exponentialfunktionens serieutveckling:

e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}

eller utgå ifrån en definition av den naturliga logaritmen:

\ln(x)=\int _{1}^{x}{dt \over t}

Utvidgning för komplexa tal

Imaginära exponenter med basen e

Ett komplext tal är ett uttryck av formen $z=x+iy$ , där x och y är reella tal och i är den imaginära enheten, ett tal som satisfierar regeln $i^{2}=-1$ . Ett komplext tal kan åskådliggöras som en punkt i (x,y)-planet. De polära koordinaterna för en punkt i (x,y)-planet består av det icke-negativa talet r och vinkeln θ sådana att x = r cos θ och y = r sin θ:

x+iy=r(\cos \theta +i\sin \theta ).

Produkten av två komplexa tal z₁ = x₁ + iy₁, z₂ = x₂ + iy₂ erhålls genom expansion av produkten av binomen och förenkling med hjälp av regeln $i^{2}=-1$ :

z_{1}z_{2}=(x_{1}+iy_{1})(x_{2}+iy_{2})=(x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2})+i(x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}).

Som en konsekvens av formler för trigonometriska vinkelsummor; om z₁ och z₂ har de polära koordinaterna (r₁, θ₁), (r₂, θ₂), så är deras produkt z₁z₂ i polära koordinater lika med (r₁r₂, θ₁ + θ₂).

Lösningarna till ekvationen e^z = 1 är heltalsmultiplarna 2πi:

\{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}

Mera generellt, om e^v = w, så kan varje lösninig till e^z = w erhållas genom addition av en heltalsmultipel 2πi till v:

\{z:e^{z}=w\}=\{v+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}

Således är den komplexa exponentialfunktionen en periodisk funktion med perioden 2πi:

e^{i\pi }=-1;\quad e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)

.

Mer om potensers egenskaper

Till skillnad från addition och multiplikation har operationen exponentiering nästan ingen av "de vanliga" algebraiska egenskaperna, som brukar användas för att förenkla räkningar. Av potenslagarna kan man utläsa, att exponentiering är högerdistributiv med avseende på multiplikation (det vill säga att (a · b)^c = a^c · b^c); och operationen har det högerneutrala elementet 1 (eftersom a¹ = a. Däremot är exponentiering inte vänsterdistributiv, och saknar vänsterneutralt element).

Exponentiering är inte heller kommutativ. Exempelvis är 2 + 3 = 5 = 3 + 2 och 2 · 3 = 6 = 3 · 2, eftersom addition och multiplikation är kommutativa operationer, men 2³ = 8, vilket inte är detsamma som 3² = 9.

Exponentiering är inte heller associativ, till skillnad från addition och multiplikation. Exempelvis är (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 och (2 · 3) · 4 = 2 · (3 · 4) = 24, men 2³ upphöjt till 4 är 8⁴ = 4 096, medan 2 upphöjt till 3⁴ är 2⁸¹ = 2 417 851 639 229 258 300 000 000. Observera att om man inte använder parenteser för att ändra prioriteringsordningen, så "beräknas exponenter först", så att till exempel

b^{p^{q}}=b^{(p^{q})}\neq (b^{p})^{q}=b^{(p\cdot q)}=b^{p\cdot q}

.

(Detta gäller oberoende av om man använder det vanliga beteckningssättet med "små upphöjda" exponenter, eller i stället betecknar exponentiering medelst symbolen ^. I datoralgebrasystem gäller alltså normalt tolkningen b^p^q = b^(p^q) ≠ (b^p)^q.)