Trapetsregeln

Trapetsregeln (ej att förväxla med trapetsmetoden) är en numerisk metod för att approximera en bestämd integral på formen $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$.

Approximation av integralen $\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$ med en trapets.

Sammansatta trapetsregeln

Metoden går ut på att integralen av $f(x)$ på intervallet $[a,b]$ kan approximeras med en trapets,

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx (b-a){\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

Sammansatta trapetsregeln

Genom att dela in intervallet $[a,b]$ i $N$ stycken delintervall med längd $h=(b-a)/N$ och tillämpa trapetsregeln på vart och ett av delintervallen fås den sammansatta trapetsregeln,

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx T(h):=h\sum _{k=1}^{N}{\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}},$

där $x_{k}=a+(k-1)h$, $k=1,...,N+1$, så att $x_{1}=a$ och $x_{N+1}=b$.

Varierande intervallängd

Om intervallängden $h_{k}=x_{k+1}-x_{k}$ inte är konstant kan den sammansatta trapetsregeln uttryckas på sin allmänna form,

$\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x\approx \sum _{k=1}^{N}(x_{k+1}-x_{k}){\frac {f(x_{k})+f(x_{k+1})}{2}}.$

Trunkeringsfel

Trunkeringsfelet för den sammansatta trapetsregeln kan uttryckas som

$e(h)=\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x-T(h)=c_{1}h^{2}+c_{2}h^{4}+c_{3}h^{6}+...={\mathcal {O}}(h^{2}),$

det vill säga den dominerande feltermen är proportionell mot $h^{2}$, så metoden har noggrannhetsordning två.