Golv- och takfunktionerna

Golv- och takfunktionerna är två funktioner inom talteorin.

Golvfunktionens graf

Takfunktionens graf

Värdet av golvfunktionen $\lfloor x\rfloor$ för något reellt tal x är det största heltal som är mindre än eller lika med x (för positiva tal x ger golvfunktionen helt enkelt heltalsdelen av x).

Exempel:

• $\lfloor 2{,}9\rfloor =2$
• $\lfloor 2\rfloor =2$
• $\lfloor -2{,}5\rfloor =-3$

Andra beteckningssätt är $\operatorname {floor} (x)$ (av engelska floor ’golv’) och $\left[x\right]\$

Takfunktionen $\lceil x\rceil$ ger på motsvarande sätt det minsta heltal som är större än eller lika med x.

Exempel:

• $\lceil 2{,}1\rceil =3$
• $\lceil 2\rceil =2$
• $\lceil -2{,}5\rceil =-2$

Ett annat beteckningssätt är $\operatorname {ceil} (x)$ (av engelska ceiling ’(inner)tak’).

Egenskaper

Srinivasa Aiyangar Ramanujan presenterade följande problem i Journal of the Indian Mathematical Society.

Om n är ett positivt heltal, bevisa att

(i)     $\left\lfloor {\tfrac {n}{3}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+2}{6}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+4}{6}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lfloor {\tfrac {n+3}{6}}\right\rfloor$

(ii)     $\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{2}}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\tfrac {1}{2}}+{\sqrt {n+{\tfrac {1}{4}}}}\right\rfloor$

(iii)     $\left\lfloor {\sqrt {n}}+{\sqrt {n+1}}\right\rfloor =\left\lfloor {\sqrt {4n+2}}\right\rfloor .$

Användningar

Formler för primtal

Talet n är ett primtal om och endast om

$\sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.$

Låt r > 1 vara ett heltal, p_n det n-te primtalet, och

$\alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.$

Då är

$p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .$

Det finns ett tal θ = 1.3064... (Mills konstant) så att

$\left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots$

är alla primtal.

Det finns även ett tal ω = 1.9287800... med egenskapen att

$\left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots$

är alla primtal.

Om π(x) är antalet primtal mindre eller lika stora som x, får man följande formel som en enkel konsekvens av Wilsons sats:

$\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .$

Om n ≥ 2, är

$\pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .$

Ingen av formlerna i denna sektion är dock av någon praktisk betydelse.

Se även

• Stegfunktion/trappfunktion

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Golv- och takfunktionerna.
  Bilder & media