Inom linjär algebra har en matris A egenskapen inverterbarhet eller invertibilitet , om och endast om det existerar en matris B sådan att
A
B
=
B
A
=
I
{\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} \ }
där I är enhetsmatrisen . Då kallas A en inverterbar matris och B kallas inversen till A och skrivs A −1 . Det följer av definitionen att både A och A −1 är kvadratiska matriser av samma dimension n ×n .
En kvadratisk matris som inte är inverterbar kallas för en singulär matris .
Att en n × n -matris A är inverterbar är ekvivalent med att:
Determinanten av A är nollskild, det A ≠ 0.A har rang n .Ekvationen Ax = 0 endast har den triviala lösningen x = 0. Med andra ord, nollrummet består endast av nollvektorn.
Transponatet AT är inverterbart.Talet 0 är inte ett egenvärde till A .
Transponering av en matris bestående av underdeterminanter (kofaktorer ), kan vara ett effektivt sätt att beräkna inversen till små matriser, men denna rekursiva metod är ineffektiv för större matriser:
A
−
1
=
1
|
A
|
C
T
=
1
|
A
|
(
C
11
C
21
⋯
C
n
1
C
12
C
22
⋯
C
n
2
⋮
⋮
⋱
⋮
C
1
n
C
2
n
⋯
C
n
n
)
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}{\begin{pmatrix}\mathbf {C} _{11}&\mathbf {C} _{21}&\cdots &\mathbf {C} _{n1}\\\mathbf {C} _{12}&\mathbf {C} _{22}&\cdots &\mathbf {C} _{n2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {C} _{1n}&\mathbf {C} _{2n}&\cdots &\mathbf {C} _{nn}\\\end{pmatrix}}}
så att
(
A
−
1
)
i
j
=
1
|
A
|
(
C
T
)
i
j
=
1
|
A
|
(
C
j
i
)
{\displaystyle \left(\mathbf {A} ^{-1}\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} ^{\mathrm {T} }\right)_{ij}={1 \over {\begin{vmatrix}\mathbf {A} \end{vmatrix}}}\left(\mathbf {C} _{ji}\right)}
där |A | är A :s determinant , C är matrisen av underdeterminanter och C T representerar den transponerade matrisen.
Invertering av dessa matriser kan göras enligt[ 1]
A
−
1
=
[
a
b
c
d
]
−
1
=
1
det
A
[
d
−
b
−
c
a
]
=
1
a
d
−
b
c
[
d
−
b
−
c
a
]
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{bmatrix}\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end{bmatrix}}}
Detta är möjligt därför att 1/(ad − bc ) är det reciproka värdet av determinanten till A (som antas vara nollskild) och samma strategi kan användas för andra matrisstorlekar.
Cayley–Hamiltons sats anger att
A
−
1
=
1
det
A
[
(
tr
A
)
I
−
A
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right].}
En beräkningsmässigt effektiv metod för invertering av 3 × 3 matriser ges av
A
−
1
=
[
a
b
c
d
e
f
g
h
i
]
−
1
=
1
det
(
A
)
[
A
B
C
D
E
F
G
H
I
]
T
=
1
det
(
A
)
[
A
D
G
B
E
H
C
F
I
]
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\\\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,B&\,C\\\,D&\,E&\,F\\\,G&\,H&\,I\\\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}{\begin{bmatrix}\,A&\,D&\,G\\\,B&\,E&\,H\\\,C&\,F&\,I\\\end{bmatrix}}}
(där skalären A inte skall förväxlas med matrisen A ).
Om determinanten är nollskild är matrisen inverterbar, där skalärerna (A , B , ...) ges av
A
=
(
e
i
−
f
h
)
D
=
−
(
b
i
−
c
h
)
G
=
(
b
f
−
c
e
)
B
=
−
(
d
i
−
f
g
)
E
=
(
a
i
−
c
g
)
H
=
−
(
a
f
−
c
d
)
C
=
(
d
h
−
e
g
)
F
=
−
(
a
h
−
b
g
)
I
=
(
a
e
−
b
d
)
{\displaystyle {\begin{matrix}A=(ei-fh)&D=-(bi-ch)&G=(bf-ce)\\B=-(di-fg)&E=(ai-cg)&H=-(af-cd)\\C=(dh-eg)&F=-(ah-bg)&I=(ae-bd)\\\end{matrix}}}
A :s determinant kan beräknas med hjälp av Sarrus regel :
det
(
A
)
=
a
A
+
b
B
+
c
C
.
{\displaystyle \det(\mathbf {A} )=aA+bB+cC.}
Cayley–Hamilton-uppdelningen ger
A
−
1
=
1
det
(
A
)
[
1
2
(
(
tr
A
)
2
−
tr
A
2
)
I
−
A
tr
A
+
A
2
]
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left[{\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right].}
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det \mathbf {A} }}\left[\left(\operatorname {tr} \mathbf {A} \right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6a9c4572ae4bc8d969f0b14145493efd4791a32)
![{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}={\frac {1}{\det(\mathbf {A} )}}\left[{\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)\mathbf {I} -\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52dbfa16c1fd5676f2b94d19f2ee8658bbd73fb8)